一、基本概念和知識
1.奇數(shù)和偶數(shù)
整數(shù)可以分成奇數(shù)和偶數(shù)兩大類.能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù)，不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù)。
偶數(shù)通常可以用2k（k為整數(shù)）表示，奇數(shù)則可以用2k+1（k為整數(shù)）表示。
特別注意，因為0能被2整除，所以0是偶數(shù)。
2.奇數(shù)與偶數(shù)的運算性質(zhì)
性質(zhì)1：偶數(shù)±偶數(shù)=偶數(shù)，
奇數(shù)±奇數(shù)=偶數(shù)。
性質(zhì)2：偶數(shù)±奇數(shù)=奇數(shù)。
性質(zhì)3：偶數(shù)個奇數(shù)相加得偶數(shù)。
性質(zhì)4：奇數(shù)個奇數(shù)相加得奇數(shù)。
性質(zhì)5：偶數(shù)×奇數(shù)=偶數(shù)，
奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)。
習題：
1.有100個自然數(shù)，它們的和是偶數(shù).在這100個自然數(shù)中，奇數(shù)的個數(shù)比偶數(shù)的個數(shù)多.問：這些數(shù)中至多有多少個偶數(shù)？
2.有一串數(shù)，最前面的四個數(shù)依次是1、9、8、7.從第五個數(shù)起，每一個數(shù)都是它前面相鄰四個數(shù)之和的個位數(shù)字.問：在這一串數(shù)中，會依次出現(xiàn)1、9、8、8這四個數(shù)嗎？
3.求證：四個連續(xù)奇數(shù)的和一定是8的倍數(shù)。
4.把任意6個整數(shù)分別填入右圖中的6個小方格內(nèi)，試說明一定有一個矩形，它的四個角上四個小方格中的四個數(shù)之和為偶數(shù)。
5.如果兩個人通一次電話，每人都記通話一次，在24小時以內(nèi)，全世界通話次數(shù)是奇數(shù)的那些人的總數(shù)為____。
（A）必為奇數(shù)，（B）必為偶數(shù)，
（C）可能是奇數(shù)，也可能是偶數(shù)。
6.一次宴會上，客人們相互握手.問握手次數(shù)是奇數(shù)的那些人的總?cè)藬?shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)。
7.有12張卡片，其中有3張上面寫著1，有3張上面寫著3，有3張上面寫著5，有3張上面寫著7.你能否從中選出五張，使它們上面的數(shù)字和為20？為什么？
8.有10只杯子全部口朝下放在盤子里.你能否每次翻動4只杯子，經(jīng)過若干次翻動后將杯子全部翻成口朝上？
9.電影廳每排有19個座位，共23排，要求每一觀眾都僅和它鄰近（即前、后、左、右）一人交換位置.問：這種交換方法是否可行？
10.由14個大小相同的方格組成下列圖形（右圖），請證明：不論怎樣剪法，總不能把它剪成7個由兩個相鄰方格組成的長方形。
習題答案：
1.偶數(shù)至多有48個。
2.提示：先按規(guī)律寫出一些數(shù)來，再找其奇、偶性的排列規(guī)律，便可得到答案：不會依次出現(xiàn)1、9、8、8這四個數(shù)。
3.設四個連續(xù)奇數(shù)是2n＋1，2n＋3，2n＋5，2n＋7，n為整數(shù)，則它們的和是
（2n+1）＋（2n＋3）＋（2n＋5）+（2n＋7）
＝2n×4＋16＝8n+16=8（n+2）。
所以，四個連續(xù)奇數(shù)的和是8的倍數(shù)。
4.證明：設填入數(shù)分別為a1、a2、a3、a4、a5、a6.有
假設要證明的結(jié)論不成立，則有：
∵偶數(shù)≠奇數(shù)，∴假設不成立，命題得證。
5.應選擇（B）.參考例3。
6.是偶數(shù).參考例3。
7.不能.因為5個奇數(shù)的和為奇數(shù)，不可能等于20。
8.能.例如
第一次 78910
第二次 3456
第三次 2345
第四次 13 45
9.這種交換方法是不可行的.參考例12。
10.利用黑白相間染色方法可以證明：不可能剪成由7個相鄰兩個方格組成的長方形，因為圖形中一種顏色有8格，另一種顏色有6格，而每個相鄰兩個方格組成的長方形是一黑格一白格，7個這樣的長方形共7黑格7白格.與圖形相矛盾.
