第一章 整式的運(yùn)算
一、整式
1、單項(xiàng)式:表示數(shù)與字母的積的代數(shù)式。另外規(guī)定單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或字母也是單項(xiàng)式。
單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)。注意系數(shù)包括前面的符號(hào),系數(shù)是1時(shí)通常省略, 是系數(shù), 的系數(shù)是
單項(xiàng)式的次數(shù)是指所有字母的指數(shù)的和。
2、多項(xiàng)式:幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。 (幾次幾項(xiàng)式)
每一個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng),注意項(xiàng)包括前面的符號(hào)。
多項(xiàng)式的次數(shù):多項(xiàng)式中次數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)。項(xiàng)的次數(shù)是幾就叫做幾次項(xiàng),其中不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)。
3、整式;單項(xiàng)式與多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式。(最明顯的特征:分母中不含字母)
二、整式的加減:①先去括號(hào); (注意括號(hào)前有數(shù)字因數(shù))
、谠俸喜⑼愴(xiàng)。 (系數(shù)相加,字母與字母指數(shù)不變)
三、冪的運(yùn)算性質(zhì)
1、同底數(shù)冪相乘:底數(shù)不變,指數(shù)相加。
2、冪的乘方:底數(shù)不變,指數(shù)相乘。
3、積的乘方:把積中的每一個(gè)因式各自乘方,再把所得的冪相乘。
4、零指數(shù)冪:任何一個(gè)不等于0的數(shù)的0次冪等于1。 ( ) 注意00沒有意義。
5、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪: ( 正整數(shù), )
6、同底數(shù)冪相除:底數(shù)不變,指數(shù)相減。 ( )
注意:以上公式的正反兩方面的應(yīng)用。
常見的錯(cuò)誤: , , , ,
四、單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式:系數(shù)相乘,相同的字母相乘,只在一個(gè)因式中出現(xiàn)的字母則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。
五、單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式:運(yùn)用乘法的分配率,把這個(gè)單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的每一項(xiàng)。
六、多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式:連同各項(xiàng)的符號(hào)把其中一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)。
七、平方差公式
兩數(shù)的和乘以這兩數(shù)的差,等于這兩數(shù)的平方差。
即:一項(xiàng)符號(hào)相同,另一項(xiàng)符號(hào)相反,等于符號(hào)相同的平方減去符號(hào)相反的平方。
八、完全平方公式
兩數(shù)的和(或差)的平方,等于這兩數(shù)的平方和再加上(或減去)兩數(shù)積的2倍。
常見錯(cuò)誤:
九、單項(xiàng)除以單項(xiàng)式:把單項(xiàng)式的系數(shù)相除,相同的字母相除,只在被除式中出現(xiàn)的字母則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式。
十、多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式:連同各項(xiàng)的符號(hào),把多項(xiàng)式的各項(xiàng)都除以單項(xiàng)式。
第二章 平行線與相交線
一、互余、互補(bǔ)、對(duì)頂角
1、相加等于90°的兩個(gè)角稱這兩個(gè)角互余。 性質(zhì):同角(或等角)的余角相等。
2、相加等于180°的兩個(gè)角稱這兩個(gè)角互補(bǔ)。 性質(zhì):同角(或等角)的補(bǔ)角相等。
3、兩條直線相交,有公共頂點(diǎn)但沒有公共邊的兩個(gè)角叫做對(duì)頂角;或者一個(gè)角的反相延長(zhǎng)線與這個(gè)角是對(duì)頂角。 對(duì)頂角的性質(zhì):對(duì)頂角相等。
4、兩條直線相交,有公共頂點(diǎn)且有一條公共邊的兩個(gè)角互為鄰補(bǔ)角。 (相鄰且互補(bǔ))
二、三線八角: 兩直線被第三條直線所截
、僭趦芍本的相同位置上,在第三條直線的同側(cè)(旁)的兩個(gè)角叫做同位角。
②在兩直線之間(內(nèi)部),在第三條直線的兩側(cè)(旁)的兩個(gè)角叫做內(nèi)錯(cuò)角。
、墼趦芍本之間(內(nèi)部),在第三條直線的同側(cè)(旁)的兩個(gè)角叫做同旁內(nèi)角。
三、平行線的判定
①同位角相等
、趦(nèi)錯(cuò)角相等 兩直線平行
、弁詢(nèi)角互補(bǔ)
四、平行線的性質(zhì)
①兩直線平行,同位角相等。 ②兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等。 ③兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)。
五、尺規(guī)作圖(用圓規(guī)和直尺作圖)
、僮饕粭l線段等于已知線段。 ②作一個(gè)角等于已知角。
第三章 三角形
一、認(rèn)識(shí)三角形
1、三角形:由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形。
2、三角形三邊的關(guān)系:兩邊之和大于第三邊;兩邊之差小于第三邊。
(已知三條線段確定能否組成三角形,已知兩邊求第三邊的取值范圍)
3、三角形的內(nèi)角和是180°;直角三角形的兩銳角互余。
銳角三角形 (三個(gè)角都是銳角)
4、三角形按角分類直角三角形 (有一個(gè)角是直角)
鈍角三角形 (有一個(gè)角是鈍角)
5、三角形的特殊線段:
a) 三角形的中線:連結(jié)頂點(diǎn)與對(duì)邊中點(diǎn)的線段。 (分成的兩個(gè)三角形面積相等)
b) 三角形的角平分線:內(nèi)角平分線與對(duì)邊的交點(diǎn)到內(nèi)角所在的頂點(diǎn)的線段。
c) 三角形的高:頂點(diǎn)到對(duì)邊的垂線段。 (每一種三角形的作圖)
二、全等三角形:
1、全等三角形:能夠重合的兩個(gè)三角形。
2、全等三角形的性質(zhì):全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等。
3、全等三角形的判定:
判定方法
內(nèi) 容
簡(jiǎn)稱
邊邊邊
三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等
SSS
邊角邊
兩邊與這兩邊的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等
SAS
角邊角
兩角與這兩角的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等
ASA
角角邊
兩角與其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等
AAS
斜邊直角邊
斜邊與一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等
HL
注意:三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不能判定兩個(gè)三角形形全等;AAA
兩條邊與其中一條邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不能判定兩個(gè)三角三角形全等。SSA
4、全等三角形的證明思路:
條 件
下一步的思路
運(yùn)用的判定方法
已經(jīng)兩邊對(duì)應(yīng)相等
找它們的夾角
SAS
找第三邊
SSS
已經(jīng)兩角對(duì)應(yīng)相等
找它們的夾邊
ASA
找其中一個(gè)角的對(duì)邊
AAS
已經(jīng)一角一邊
找另一個(gè)角
ASA或AAS
找另一邊
SAS
5、三角形具有穩(wěn)定性,
三、作三角形
1、已經(jīng)三邊作三角形
2、已經(jīng)兩邊與它們的夾角作三角形
3、已經(jīng)兩角與它們的夾邊作三角形(已經(jīng)兩角與其中一角的對(duì)邊轉(zhuǎn)化成這種情況)
4、已經(jīng)斜邊與一條直角邊作直角三角形
第四章 生活中的變量
一、變量、自變量與因變量
、賰蓚(gè)變量x與y,y隨x的改變而改變,那么x是自變量(先變的量),y是因變量(后變的量)。
二、變量之間的表示方法:
、倭斜矸
、陉P(guān)系式法:能精確地反映自變量與因變量之間數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系。
③圖象法:用水平方向的數(shù)軸(橫軸)上的點(diǎn)表示自變量,用堅(jiān)直方向的數(shù)軸(縱軸)表示因變量。
第五章 生活中的軸對(duì)稱
一、軸對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱
、僖粋(gè)圖形沿某一條直線對(duì)折,直線兩旁的部分能完成重合的圖形叫做軸對(duì)稱圖形。這條直線叫做對(duì)稱軸。
、趦蓚(gè)圖形沿某一條直線折疊,這兩個(gè)圖形能完全重合,就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線成軸對(duì)稱。這條直線叫做對(duì)稱軸。
、鄢R姷妮S對(duì)稱圖形:線段(兩條對(duì)稱軸),角,長(zhǎng)方形,正方形,等腰三角形,等邊三角形,等腰梯形,圓,扇形
二、角平分線的性質(zhì):角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。
∵ ∠1=∠2 PB⊥OB PA⊥OA
∴ PB=PA
三、線段垂直平分線:
①概念:垂直且平分線段的直線叫做這條線段的垂直平分線。
、谛再|(zhì):線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。
∵ OA=OB CD⊥AB
∴ PA=PB
四、等腰三角形性質(zhì): (有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形)
、俚妊切问禽S對(duì)稱圖形; (一條對(duì)稱軸)
、诘妊切蔚走吷现芯,底邊上的高,頂角的平分線重合; (三線合一)
③等腰三角形的兩個(gè)底角相等。 (簡(jiǎn)稱:等邊對(duì)等角)
五、在一個(gè)三角形中,如果有兩個(gè)角相等,那么它所對(duì)的兩條邊也相等。(簡(jiǎn)稱:等角對(duì)等邊)
六、等邊三角形的性質(zhì):等邊三角形是特殊的等腰三角形,它具有等腰三角形的所有性質(zhì)。
① 等邊三角形的三條邊相等,三個(gè)角都等于60; ②等邊三角形有三條對(duì)稱軸。
七、軸對(duì)稱的性質(zhì):
、 關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形; ②對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角相等;
② 對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直且平分; ④對(duì)應(yīng)線段如果相交,那么交點(diǎn)在對(duì)稱軸上。
八、鏡子改變了什么:
1、物與像關(guān)于鏡面成軸對(duì)稱;(分清左右對(duì)稱與上下對(duì)稱)
2、常見的問題:①物體成像問題;②數(shù)字與字母成像問題;③時(shí)鐘成像問題
第六章 概 率
一、概率:反映事件發(fā)生可能性大小的數(shù)。 事件P的概率=
二、事件的分類
三、游戲是否公平:雙方事件發(fā)生的概率是否相等。
一、整式
1、單項(xiàng)式:表示數(shù)與字母的積的代數(shù)式。另外規(guī)定單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或字母也是單項(xiàng)式。
單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)。注意系數(shù)包括前面的符號(hào),系數(shù)是1時(shí)通常省略, 是系數(shù), 的系數(shù)是
單項(xiàng)式的次數(shù)是指所有字母的指數(shù)的和。
2、多項(xiàng)式:幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。 (幾次幾項(xiàng)式)
每一個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng),注意項(xiàng)包括前面的符號(hào)。
多項(xiàng)式的次數(shù):多項(xiàng)式中次數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)。項(xiàng)的次數(shù)是幾就叫做幾次項(xiàng),其中不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)。
3、整式;單項(xiàng)式與多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式。(最明顯的特征:分母中不含字母)
二、整式的加減:①先去括號(hào); (注意括號(hào)前有數(shù)字因數(shù))
、谠俸喜⑼愴(xiàng)。 (系數(shù)相加,字母與字母指數(shù)不變)
三、冪的運(yùn)算性質(zhì)
1、同底數(shù)冪相乘:底數(shù)不變,指數(shù)相加。
2、冪的乘方:底數(shù)不變,指數(shù)相乘。
3、積的乘方:把積中的每一個(gè)因式各自乘方,再把所得的冪相乘。
4、零指數(shù)冪:任何一個(gè)不等于0的數(shù)的0次冪等于1。 ( ) 注意00沒有意義。
5、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪: ( 正整數(shù), )
6、同底數(shù)冪相除:底數(shù)不變,指數(shù)相減。 ( )
注意:以上公式的正反兩方面的應(yīng)用。
常見的錯(cuò)誤: , , , ,
四、單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式:系數(shù)相乘,相同的字母相乘,只在一個(gè)因式中出現(xiàn)的字母則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。
五、單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式:運(yùn)用乘法的分配率,把這個(gè)單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的每一項(xiàng)。
六、多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式:連同各項(xiàng)的符號(hào)把其中一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)。
七、平方差公式
兩數(shù)的和乘以這兩數(shù)的差,等于這兩數(shù)的平方差。
即:一項(xiàng)符號(hào)相同,另一項(xiàng)符號(hào)相反,等于符號(hào)相同的平方減去符號(hào)相反的平方。
八、完全平方公式
兩數(shù)的和(或差)的平方,等于這兩數(shù)的平方和再加上(或減去)兩數(shù)積的2倍。
常見錯(cuò)誤:
九、單項(xiàng)除以單項(xiàng)式:把單項(xiàng)式的系數(shù)相除,相同的字母相除,只在被除式中出現(xiàn)的字母則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式。
十、多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式:連同各項(xiàng)的符號(hào),把多項(xiàng)式的各項(xiàng)都除以單項(xiàng)式。
第二章 平行線與相交線
一、互余、互補(bǔ)、對(duì)頂角
1、相加等于90°的兩個(gè)角稱這兩個(gè)角互余。 性質(zhì):同角(或等角)的余角相等。
2、相加等于180°的兩個(gè)角稱這兩個(gè)角互補(bǔ)。 性質(zhì):同角(或等角)的補(bǔ)角相等。
3、兩條直線相交,有公共頂點(diǎn)但沒有公共邊的兩個(gè)角叫做對(duì)頂角;或者一個(gè)角的反相延長(zhǎng)線與這個(gè)角是對(duì)頂角。 對(duì)頂角的性質(zhì):對(duì)頂角相等。
4、兩條直線相交,有公共頂點(diǎn)且有一條公共邊的兩個(gè)角互為鄰補(bǔ)角。 (相鄰且互補(bǔ))
二、三線八角: 兩直線被第三條直線所截
、僭趦芍本的相同位置上,在第三條直線的同側(cè)(旁)的兩個(gè)角叫做同位角。
②在兩直線之間(內(nèi)部),在第三條直線的兩側(cè)(旁)的兩個(gè)角叫做內(nèi)錯(cuò)角。
、墼趦芍本之間(內(nèi)部),在第三條直線的同側(cè)(旁)的兩個(gè)角叫做同旁內(nèi)角。
三、平行線的判定
①同位角相等
、趦(nèi)錯(cuò)角相等 兩直線平行
、弁詢(nèi)角互補(bǔ)
四、平行線的性質(zhì)
①兩直線平行,同位角相等。 ②兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等。 ③兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)。
五、尺規(guī)作圖(用圓規(guī)和直尺作圖)
、僮饕粭l線段等于已知線段。 ②作一個(gè)角等于已知角。
第三章 三角形
一、認(rèn)識(shí)三角形
1、三角形:由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形。
2、三角形三邊的關(guān)系:兩邊之和大于第三邊;兩邊之差小于第三邊。
(已知三條線段確定能否組成三角形,已知兩邊求第三邊的取值范圍)
3、三角形的內(nèi)角和是180°;直角三角形的兩銳角互余。
銳角三角形 (三個(gè)角都是銳角)
4、三角形按角分類直角三角形 (有一個(gè)角是直角)
鈍角三角形 (有一個(gè)角是鈍角)
5、三角形的特殊線段:
a) 三角形的中線:連結(jié)頂點(diǎn)與對(duì)邊中點(diǎn)的線段。 (分成的兩個(gè)三角形面積相等)
b) 三角形的角平分線:內(nèi)角平分線與對(duì)邊的交點(diǎn)到內(nèi)角所在的頂點(diǎn)的線段。
c) 三角形的高:頂點(diǎn)到對(duì)邊的垂線段。 (每一種三角形的作圖)
二、全等三角形:
1、全等三角形:能夠重合的兩個(gè)三角形。
2、全等三角形的性質(zhì):全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等。
3、全等三角形的判定:
判定方法
內(nèi) 容
簡(jiǎn)稱
邊邊邊
三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等
SSS
邊角邊
兩邊與這兩邊的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等
SAS
角邊角
兩角與這兩角的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等
ASA
角角邊
兩角與其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等
AAS
斜邊直角邊
斜邊與一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等
HL
注意:三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不能判定兩個(gè)三角形形全等;AAA
兩條邊與其中一條邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不能判定兩個(gè)三角三角形全等。SSA
4、全等三角形的證明思路:
條 件
下一步的思路
運(yùn)用的判定方法
已經(jīng)兩邊對(duì)應(yīng)相等
找它們的夾角
SAS
找第三邊
SSS
已經(jīng)兩角對(duì)應(yīng)相等
找它們的夾邊
ASA
找其中一個(gè)角的對(duì)邊
AAS
已經(jīng)一角一邊
找另一個(gè)角
ASA或AAS
找另一邊
SAS
5、三角形具有穩(wěn)定性,
三、作三角形
1、已經(jīng)三邊作三角形
2、已經(jīng)兩邊與它們的夾角作三角形
3、已經(jīng)兩角與它們的夾邊作三角形(已經(jīng)兩角與其中一角的對(duì)邊轉(zhuǎn)化成這種情況)
4、已經(jīng)斜邊與一條直角邊作直角三角形
第四章 生活中的變量
一、變量、自變量與因變量
、賰蓚(gè)變量x與y,y隨x的改變而改變,那么x是自變量(先變的量),y是因變量(后變的量)。
二、變量之間的表示方法:
、倭斜矸
、陉P(guān)系式法:能精確地反映自變量與因變量之間數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系。
③圖象法:用水平方向的數(shù)軸(橫軸)上的點(diǎn)表示自變量,用堅(jiān)直方向的數(shù)軸(縱軸)表示因變量。
第五章 生活中的軸對(duì)稱
一、軸對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱
、僖粋(gè)圖形沿某一條直線對(duì)折,直線兩旁的部分能完成重合的圖形叫做軸對(duì)稱圖形。這條直線叫做對(duì)稱軸。
、趦蓚(gè)圖形沿某一條直線折疊,這兩個(gè)圖形能完全重合,就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線成軸對(duì)稱。這條直線叫做對(duì)稱軸。
、鄢R姷妮S對(duì)稱圖形:線段(兩條對(duì)稱軸),角,長(zhǎng)方形,正方形,等腰三角形,等邊三角形,等腰梯形,圓,扇形
二、角平分線的性質(zhì):角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。
∵ ∠1=∠2 PB⊥OB PA⊥OA
∴ PB=PA
三、線段垂直平分線:
①概念:垂直且平分線段的直線叫做這條線段的垂直平分線。
、谛再|(zhì):線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。
∵ OA=OB CD⊥AB
∴ PA=PB
四、等腰三角形性質(zhì): (有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形)
、俚妊切问禽S對(duì)稱圖形; (一條對(duì)稱軸)
、诘妊切蔚走吷现芯,底邊上的高,頂角的平分線重合; (三線合一)
③等腰三角形的兩個(gè)底角相等。 (簡(jiǎn)稱:等邊對(duì)等角)
五、在一個(gè)三角形中,如果有兩個(gè)角相等,那么它所對(duì)的兩條邊也相等。(簡(jiǎn)稱:等角對(duì)等邊)
六、等邊三角形的性質(zhì):等邊三角形是特殊的等腰三角形,它具有等腰三角形的所有性質(zhì)。
① 等邊三角形的三條邊相等,三個(gè)角都等于60; ②等邊三角形有三條對(duì)稱軸。
七、軸對(duì)稱的性質(zhì):
、 關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形; ②對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角相等;
② 對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直且平分; ④對(duì)應(yīng)線段如果相交,那么交點(diǎn)在對(duì)稱軸上。
八、鏡子改變了什么:
1、物與像關(guān)于鏡面成軸對(duì)稱;(分清左右對(duì)稱與上下對(duì)稱)
2、常見的問題:①物體成像問題;②數(shù)字與字母成像問題;③時(shí)鐘成像問題
第六章 概 率
一、概率:反映事件發(fā)生可能性大小的數(shù)。 事件P的概率=
二、事件的分類
三、游戲是否公平:雙方事件發(fā)生的概率是否相等。
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