★這篇《小學(xué)奧數(shù)數(shù)論綜合問(wèn)題解答：約數(shù)與倍數(shù)》，是®無(wú)憂(yōu)考網(wǎng)特地為大家整理的，希望對(duì)大家有所幫助！

已知x、y為正整數(shù)，且滿(mǎn)足xy-( x+y )=2p+q，其中p、q分別是x與y的公約數(shù)和最小公倍數(shù)，求所有這樣的數(shù)對(duì)(x，y ) (x≥y )

考點(diǎn)：約數(shù)與倍數(shù).

分析：此題需分類(lèi)討論，①當(dāng)x是y的倍數(shù)時(shí)，設(shè)x=ky(k是正整數(shù)).解方程k(y-2)=3;②當(dāng)x不是y的倍數(shù)時(shí)，令x=ap，y=bp，a，b互質(zhì)，則q=abp.解方程abp-1=(a-1)(b-1)即可.解答：解：①當(dāng)x是y的倍數(shù)時(shí)，設(shè)x=ky(k是正整數(shù)).

則由原方程，得

ky•y-(ky+y)=2y+ky，

∵y≠0，

∴ky-(k+1)=2+k，

∴k(y-2)=3，

當(dāng)k=1時(shí)，x=5，y=5;

當(dāng)k=3時(shí)，x=9，y=3;

②當(dāng)x不是y的倍數(shù)時(shí)，令x=ap，y=bp，a，b互質(zhì)，則q=abp，代入原式

得：abp2-(ap+bp)=2p+abp，即abp-1=(a-1)(b+1)

當(dāng)p=1時(shí)，a+b=2，可求得a=1，b=1，此時(shí)不滿(mǎn)足條件;

當(dāng)p>1時(shí)，abp≥2ab-1=ab+(ab-1)≥ab>(a-1)(b-1)

此時(shí)，abp-1=(a-1)(b+1)不滿(mǎn)足條件;

綜上所述，滿(mǎn)足條件的數(shù)對(duì)有

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查的是公約數(shù)與最小公倍數(shù).由于兩個(gè)數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的公約數(shù)與最小公倍數(shù)的積.即(a，b)×[a，b]=a×b.所以，求兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，就可以先求出它們的公約數(shù)，然后用上述公式求出它們的最小公倍數(shù).