【篇一】
整除數(shù)論
一、基本概念和符號：
1、整除：如果一個整數(shù)a，除以一個自然數(shù)b，得到一個整數(shù)商c，而且沒有余數(shù)，那么叫做a能被b整除或b能整除a，記作b|a。
2、常用符號：整除符號“|”，不能整除符號“”;因為符號“∵”，所以的符號“∴”;
二、整除判斷方法：
1.能被2、5整除：末位上的數(shù)字能被2、5整除。
2.能被4、25整除：末兩位的數(shù)字所組成的數(shù)能被4、25整除。
3.能被8、125整除：末三位的數(shù)字所組成的數(shù)能被8、125整除。
4.能被3、9整除：各個數(shù)位上數(shù)字的和能被3、9整除。
5.能被7整除：
�、倌┤簧蠑�(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成數(shù)之差能被7整除。
�、谥鸫稳サ糇詈笠晃粩�(shù)字并減去末位數(shù)字的2倍后能被7整除。
6.能被11整除：
�、倌┤簧蠑�(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被11整除。
�、谄鏀�(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)的數(shù)字和的差能被11整除。
③逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字后能被11整除。
7.能被13整除：
�、倌┤簧蠑�(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被13整除。
�、谥鸫稳サ糇詈笠晃粩�(shù)字并減去末位數(shù)字的9倍后能被13整除。
三、整除的性質：
1.如果a、b能被c整除，那么(a+b)與(a-b)也能被c整除。
2.如果a能被b整除，c是整數(shù)，那么a乘以c也能被b整除。
3.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。
4.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍數(shù)整除。
例題：
在四位數(shù)56□2中，被蓋住的十位數(shù)分別等于幾時，這個四位數(shù)分別能被9，8，4整除?
解：如果56□2能被9整除，那么
5+6+□+2=13+□
應能被9整除，所以當十位數(shù)是5，即四位數(shù)是5652時能被9整除;
如果56□2能被8整除，那么6□2應能被8整除，所以當十位數(shù)是3或7，即四位數(shù)是5632或5672時能被8整除;
如果56□2能被4整除，那么□2應能被4整除，所以當十位數(shù)是1，3，5，7，9，即四位數(shù)是5612，5632，5652，5672，5692時能被4整除。
【篇二】
1、把60分拆成10個素數(shù)之和，要求其中的素數(shù)盡可能小，那么這個素數(shù)是幾?
2、一個自然數(shù)，可以分拆成3個連續(xù)自然數(shù)之和，也可以分拆成4個連續(xù)自然數(shù)之和，還可以分拆成7個連續(xù)自然數(shù)之和。這個自然數(shù)最小是幾?
3、自然數(shù)2000能否拆成若干個連續(xù)自然數(shù)之和?如果能，有幾種不同的拆法?
4、百貨店要將鐵釘包成10包，每包數(shù)量互不相等。如果顧客來買不超過1000枚的任意個數(shù)的鐵釘，都要能從這10包中適當選取而不用拆包，能否做到?若能，請給出一種包裝方法：若不能，說明理由。
5、有一把長度為9厘米卻沒有刻度的尺子，能否在上面畫3條刻度線，使得這把尺子可以直接測量出1---9厘米的所有整厘米長度?若能，共有幾種不同的畫法?
【篇三】
約數(shù)與倍數(shù)
已知x、y為正整數(shù)，且滿足xy-(x+y)=2p+q，其中p、q分別是x與y的公約數(shù)和最小公倍數(shù)，求所有這樣的數(shù)對(x，y)(x≥y)
考點：約數(shù)與倍數(shù).
分析：此題需分類討論，①當x是y的倍數(shù)時，設x=ky(k是正整數(shù)).解方程k(y-2)=3;②當x不是y的倍數(shù)時，令x=ap，y=bp，a，b互質，則q=abp.解方程abp-1=(a-1)(b-1)即可.解答：解：①當x是y的倍數(shù)時，設x=ky(k是正整數(shù)).
則由原方程，得
ky•y-(ky+y)=2y+ky，
∵y≠0，
∴ky-(k+1)=2+k，
∴k(y-2)=3，
當k=1時，x=5，y=5;
當k=3時，x=9，y=3;
�、诋攛不是y的倍數(shù)時，令x=ap，y=bp，a，b互質，則q=abp，代入原式
得：abp2-(ap+bp)=2p+abp，即abp-1=(a-1)(b+1)
當p=1時，a+b=2，可求得a=1，b=1，此時不滿足條件;
當p>1時，abp≥2ab-1=ab+(ab-1)≥ab>(a-1)(b-1)
此時，abp-1=(a-1)(b+1)不滿足條件;
綜上所述，滿足條件的數(shù)對有
點評：本題主要考查的是公約數(shù)與最小公倍數(shù).由于兩個數(shù)的乘積等于這兩個數(shù)的公約數(shù)與最小公倍數(shù)的積.即(a，b)×[a，b]=a×b.所以，求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)，就可以先求出它們的公約數(shù)，然后用上述公式求出它們的最小公倍數(shù).
