【篇一】
韓信點(diǎn)兵
韓信點(diǎn)兵又稱為中國剩余定理，相傳漢高祖劉邦問大將軍韓信統(tǒng)御兵士多少，韓信答說，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。劉邦茫然而不知其數(shù)。
我們先考慮下列的問題：假設(shè)兵不滿一萬，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，則兵有多少？
首先我們先求5、9、13、17之最小公倍數(shù)9945（注：因?yàn)?、9、13、17為兩兩互質(zhì)的整數(shù)，故其最小公倍數(shù)為這些數(shù)的積），然後再加3，得9948（人）。
中國有一本數(shù)學(xué)古書「孫子算經(jīng)」也有類似的問題：「今有物，不知其數(shù)，三三數(shù)之，剩二，五五數(shù)之，剩三，七七數(shù)之，剩二，問物幾何？」
答曰：「二十三」
術(shù)曰：「三三數(shù)之剩二，置一百四十，五五數(shù)之剩三，置六十三，七七數(shù)之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十減之，即得。凡三三數(shù)之剩一，則置七十，五五數(shù)之剩一，則置二十一，七七數(shù)之剩一，則置十五，即得�！�
孫子算經(jīng)的作者及確實(shí)著作年代均不可考，不過根據(jù)考證，著作年代不會(huì)在晉朝之後，以這個(gè)考證來說上面這種問題的解法，中國人發(fā)現(xiàn)得比西方早，所以這個(gè)問題的推廣及其解法，被稱為中國剩余定理。中國剩余定理在近代抽象代數(shù)學(xué)中占有一席非常重要的地位。
【篇二】
巧分乳酪
喬記餐館雖說吃食不算，但卻以美味乳酪而遠(yuǎn)近聞名。塊塊乳酪狀如圓盤，繞有風(fēng)趣。一刀下去，就把一塊乳酪一切為二。連切兩刀，不難將其分成四塊，三刀則切成六塊。一天，女招待羅西請(qǐng)喬把乳酪切成八塊。喬：“好，羅西。很簡單，我只要這樣切四刀就成了。羅西把切好的乳酪往桌子上送時(shí)，忽然悟到喬只需要切三刀便可以把乳酪分成八塊。羅西想出了什么妙主意？
羅西豁然開朗，悟到圓柱形乳酪是一個(gè)立體圖形，可以在中線處橫截一刀將其一切為二。如果允許移動(dòng)切開的部分，那么連切三刀也行�？梢园训谝淮吻虚_的兩塊迭放在一起，切第二刀成四塊，再把四塊跌放在一起，最后一刀切成八塊。羅西的解法是如此簡單，幾乎可以說是平凡的。然而它給人以明確的啟示：對(duì)于有意義的切分問題，可以用有限差分演算進(jìn)行研究并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。有限差分演算是發(fā)現(xiàn)數(shù)字序列普通項(xiàng)公式的有力工具。今天，數(shù)字序列日益引起人們的興趣，因?yàn)樗哂袠O其廣泛的實(shí)際應(yīng)用范圍，還因?yàn)橛?jì)算機(jī)能夠以極快的速度執(zhí)行序列的運(yùn)算。
羅西第一次切乳酪的方法是在乳酪頂面的若干中線同時(shí)切數(shù)刀。乳酪具有如同薄餅?zāi)菢悠教沟捻斆�。讓我們來觀察一下，根據(jù)在一張薄餅上切數(shù)刀的過程，能夠生成一些什么數(shù)字序列。假如沿著薄餅若干中線同時(shí)切數(shù)刀，顯然，同時(shí)切n刀至多可以切出2n塊。
若在其邊沿為一條簡單閉合曲線的任意平面上同時(shí)切下n刀，這種方法所切成的塊數(shù)，是否最多也是2n塊呢？否�？梢噪S意畫出許多既非凸面，并且形狀各異的平面，即使一刀也可切成你所希望的塊數(shù)。能否畫出一種圖形，僅切一刀便可以切出任何有限數(shù)目的全等的塊？若能辦到，這種圖形的周長應(yīng)具有什么特性，才能確保只需要一刀便可以切成全等的n塊？若不同時(shí)進(jìn)行切分，薄餅的切分將更為有趣。你很快會(huì)發(fā)現(xiàn)：僅當(dāng)n〉=3時(shí)，切n刀方可切成不止2n塊。
這里，我們并不考慮所切成的塊是否全等或面積相同。當(dāng)n=1，2，3，4。。。時(shí)，可以切成的最多塊數(shù)分別是2，4，7，11。這一大家所熟悉的序列是根據(jù)下列公式求得的：
1+n（n+1）/2
其中，n是所切的刀數(shù)。此序列的前10項(xiàng)（n自0開始）是1，2，4，7，11，16，22，29，37，46。。。
請(qǐng)注意，第一行差分是1，2，3，4，5，6，7，8，9。。。第二行差分是1，1，1，1，1，1，1，1，1，。。。
這強(qiáng)烈地暗示著此序列的普通項(xiàng)是一個(gè)二次項(xiàng)。
為什么說“強(qiáng)烈暗示”呢？因?yàn)殡m然可以用有限差分演算找到一個(gè)公式，但是并不能保證該公式對(duì)于無限序列也成立。這一點(diǎn)尚需證明。在薄餅公式這一例子中，不難通過數(shù)學(xué)歸納法做出一個(gè)簡單的證明。
從這點(diǎn)出發(fā)，你可以發(fā)現(xiàn)大量的引人入勝的研究方向，其中有許多將導(dǎo)致非同尋常的數(shù)字序列，公式以及數(shù)學(xué)歸納法證明。這里有一些問題可供你作為初步嘗試。采用下列各種方法，最多可以切成幾塊？
1。在馬蹄形的薄餅上切n刀。
2。在球形或羅西所切的那種圓柱形乳酪上切n刀。
3。用切小圓甜餅的刀在薄餅上切n刀。
4。在狀如燭環(huán)狀（即中心有一個(gè)圓孔）的薄餅上切n刀。
5。在油炸圈（圓環(huán)）上切n刀。
【篇三】
火柴游戲
一個(gè)最普通的火柴游戲就是兩人一起玩，先置若干支火柴於桌上，兩人輪流取，每次所取的數(shù)目可先作一些限制，規(guī)定取走最後一根火柴者獲勝。
規(guī)則一：若限制每次所取的火柴數(shù)目最少一根，最多三根，則如何玩才可致勝？
例如：桌面上有n=15根火柴，甲?乙兩人輪流取，甲先取，則甲應(yīng)如何取才能致勝？
為了要取得最後一根，甲必須最後留下零根火柴給乙，故在最後一步之前的輪取中，甲不能留下1根或2根或3根，否則乙就可以全部取走而獲勝。如果留下4根，則乙不能全取，則不管乙取幾根（1或2或3），甲必能取得所有剩下的火柴而贏了游戲。同理，若桌上留有8根火柴讓乙去取，則無論乙如何取，甲都可使這一次輪取後留下4根火柴，最後也一定是甲獲勝。由上之分析可知，甲只要使得桌面上的火柴數(shù)為4?8?12?16…等讓乙去取，則甲必穩(wěn)操勝券。因此若原先桌面上的火柴數(shù)為15，則甲應(yīng)取3根。（∵15-3=12）若原先桌面上的火柴數(shù)為18呢？則甲應(yīng)先取2根（∵18-2=16）。
規(guī)則二：限制每次所取的火柴數(shù)目為1至4根，則又如何致勝？
原則：若甲先取，則甲每次取時(shí)，須留5的倍數(shù)的火柴給乙去取。
通則：有n支火柴，每次可取1至k支，則甲每次取後所留的火柴數(shù)目必須為k+1之倍數(shù)。
規(guī)則三：限制每次所取的火柴數(shù)目不是連續(xù)的數(shù)，而是一些不連續(xù)的數(shù)，如1?3?7，則又該如何玩法？
分析：1?3?7均為奇數(shù)，由於目標(biāo)為0，而0為偶數(shù)，所以先取者甲，須使桌上的火柴數(shù)為偶數(shù)，因?yàn)橐以谂紨?shù)的火柴數(shù)中，不可能再取去1?3?7根火柴後獲得0，但假使如此也不能保證甲必贏，因?yàn)榧讓?duì)於火柴數(shù)的奇或偶，也是無法依照己意來控制的。因?yàn)椤才?奇=奇，奇-奇=偶〕，所以每次取後，桌上的火柴數(shù)奇偶相反。若開始時(shí)是奇數(shù)，如17，甲先取，則不論甲取多少（1或3或7），剩下的便是偶數(shù)，乙隨後又把偶數(shù)變成奇數(shù)，甲又把奇數(shù)回覆到偶數(shù)，最後甲是注定為贏家；反之，若開始時(shí)為偶數(shù)，則甲注定會(huì)輸。
通則：開局是奇數(shù)，先取者必勝；反之，若開局為偶數(shù)，則先取者會(huì)輸。
規(guī)則四：限制每次所取的火柴數(shù)是1或4（一個(gè)奇數(shù)，一個(gè)偶數(shù)）。
分析：如前規(guī)則二，若甲先取，則甲每次取時(shí)留5的倍數(shù)的火柴給乙去取，則甲必勝。此外，若甲留給乙取的火柴數(shù)為5之倍數(shù)加2時(shí)，甲也可贏得游戲，因?yàn)橥娴臅r(shí)候可以控制每輪所取的火柴數(shù)為5（若乙取1，甲則取4；若乙取4，則甲取1），最後剩下2根，那時(shí)乙只能取1，甲便可取得最後一根而獲勝。
通則：若甲先取，則甲每次取時(shí)所留火柴數(shù)為5之倍數(shù)或5的倍數(shù)加2。
