【#少兒綜合素質(zhì)訓(xùn)練# #介紹10個(gè)有趣的數(shù)學(xué)游戲#】數(shù)學(xué)到底哪里有趣了，數(shù)學(xué)之美又在哪里？©無(wú)憂(yōu)考網(wǎng)分享的這篇文章精心選擇了10個(gè)老少咸宜的算術(shù)問(wèn)題，以定理、趣題甚至未解之謎等各種形式帶領(lǐng)大家窺探數(shù)學(xué)世界的一角。不少問(wèn)題背后都蘊(yùn)含了深刻的數(shù)學(xué)知識(shí)，觸及到數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域。詳細(xì)的內(nèi)容歡迎繼續(xù)往下閱讀。

　　一

　　數(shù)字黑洞6174

　　任意選一個(gè)四位數(shù)（數(shù)字不能全相同），把所有數(shù)字從大到小排列，再把所有數(shù)字從小到大排列，用前者減去后者得到一個(gè)新的數(shù)。重復(fù)對(duì)新得到的數(shù)進(jìn)行上述操作，7步以?xún)?nèi)必然會(huì)得到6174。

　　例如，選擇四位數(shù)6767：

　　7766-6677=1089

　　9810-0189=9621

　　9621-1269=8352

　　8532-2358=6174

　　7641-1467=6174

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　　6174這個(gè)“黑洞”就叫做Kaprekar常數(shù)。對(duì)于三位數(shù)，也有一個(gè)數(shù)字黑洞——495。

　　二

　　3x+1問(wèn)題

　　從任意一個(gè)正整數(shù)開(kāi)始，重復(fù)對(duì)其進(jìn)行下面的操作：如果這個(gè)數(shù)是偶數(shù)，把它除以2；如果這個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則把它擴(kuò)大到原來(lái)的3倍后再加1。你會(huì)發(fā)現(xiàn)，序列最終總會(huì)變成4,2,1,4,2,1,…的循環(huán)。

　　例如，所選的數(shù)是67，根據(jù)上面的規(guī)則可以依次得到：

　　67,202,101,304,152,76,38,19,58,29,88,44,22,11,34,17,

　　52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1,4,2,1,...

　　數(shù)學(xué)家們?cè)嚵撕芏鄶?shù)，沒(méi)有一個(gè)能逃脫“421陷阱”。但是，是否對(duì)于所有的數(shù)，序列最終總會(huì)變成4,2,1循環(huán)呢？

　　這個(gè)問(wèn)題可以說(shuō)是一個(gè)“坑”——乍看之下，問(wèn)題非常簡(jiǎn)單，突破口很多，于是數(shù)學(xué)家們紛紛往里面跳；殊不知進(jìn)去容易出去難，不少數(shù)學(xué)家到死都沒(méi)把這個(gè)問(wèn)題搞出來(lái)。已經(jīng)中招的數(shù)學(xué)家不計(jì)其數(shù)，這可以從3x+1問(wèn)題的各種別名看出來(lái)：3x+1問(wèn)題又叫Collatz猜想、Syracuse問(wèn)題、Kakutani問(wèn)題、Hasse算法、Ulam問(wèn)題等等。后來(lái)，由于命名爭(zhēng)議太大，干脆讓誰(shuí)都不沾光，直接叫做3x+1問(wèn)題算了。

　　直到現(xiàn)在，數(shù)學(xué)家們?nèi)匀粵](méi)有證明，這個(gè)規(guī)律對(duì)于所有的數(shù)都成立。

　　三

　　特殊兩位數(shù)乘法的速算

　　如果兩個(gè)兩位數(shù)的十位相同，個(gè)位數(shù)相加為10，那么你可以立即說(shuō)出這兩個(gè)數(shù)的乘積。如果這兩個(gè)數(shù)分別寫(xiě)作AB和AC，那么它們的乘積的前兩位就是A和A+1的乘積，后兩位就是B和C的乘積。

　　比如，47和43的十位數(shù)相同，個(gè)位數(shù)之和為10，因而它們乘積的前兩位就是4×(4+1)=20，后兩位就是7×3=21。也就是說(shuō)，47×43=2021。

　　類(lèi)似地，61×69=4209，86×84=7224，35×35=1225，等等。

　　這個(gè)速算方法背后的原因是，(10x+y)(10x+(10-y))=100x(x+1)+y(10-y)對(duì)任意x和y都成立。

　　四

　　幻方中的幻“方”

　　一個(gè)“三階幻方”是指把數(shù)字1到9填入3×3的方格，使得每一行、每一列和兩條對(duì)角線(xiàn)的三個(gè)數(shù)之和正好都相同。下圖就是一個(gè)三階幻方，每條直線(xiàn)上的三個(gè)數(shù)之和都等于15。

　　大家或許都聽(tīng)說(shuō)過(guò)幻方這玩意兒，但不知道幻方中的一些美妙的性質(zhì)。例如，任意一個(gè)三階幻方都滿(mǎn)足，各行所組成的三位數(shù)的平方和，等于各行逆序所組成的三位數(shù)的平方和。對(duì)于上圖中的三階幻方，就有

　　8162+3572+4922=6182+7532+2942

　　利用線(xiàn)性代數(shù)，我們可以證明這個(gè)結(jié)論。

　　五

　　天然形成的幻方

　　從1/19到18/19這18個(gè)分?jǐn)?shù)的小數(shù)循環(huán)節(jié)長(zhǎng)度都是18。把這18個(gè)循環(huán)節(jié)排成一個(gè)18×18的數(shù)字陣，恰好構(gòu)成一個(gè)幻方——每一行、每一列和兩條對(duì)角線(xiàn)上的數(shù)字之和都是81（注：嚴(yán)格意義上說(shuō)它不算幻方，因?yàn)榉疥囍杏邢嗤瑪?shù)字）。

　　六

　　196算法

　　一個(gè)數(shù)正讀反讀都一樣，我們就把它叫做“回文數(shù)”。隨便選一個(gè)數(shù)，不斷加上把它反過(guò)來(lái)寫(xiě)之后得到的數(shù)，直到得出一個(gè)回文數(shù)為止。例如，所選的數(shù)是67，兩步就可以得到一個(gè)回文數(shù)484：

　　67+76=143

　　143+341=484

　　把69變成一個(gè)回文數(shù)則需要四步：

　　69+96=165

　　165+561=726

　　726+627=1353

　　1353+3531=4884

　　89的“回文數(shù)之路”則特別長(zhǎng)，要到第24步才會(huì)得到第一個(gè)回文數(shù)，8813200023188。

　　大家或許會(huì)想，不斷地“一正一反相加”，最后總能得到一個(gè)回文數(shù)，這當(dāng)然不足為奇了。事實(shí)情況也確實(shí)是這樣——對(duì)于幾乎所有的數(shù)，按照規(guī)則不斷加下去，遲早會(huì)出現(xiàn)回文數(shù)。不過(guò)，196卻是一個(gè)相當(dāng)引人注目的例外。數(shù)學(xué)家們已經(jīng)用計(jì)算機(jī)算到了3億多位數(shù)，都沒(méi)有產(chǎn)生過(guò)一次回文數(shù)。從196出發(fā)，究竟能否加出回文數(shù)來(lái)？196究竟特殊在哪兒？這至今仍是個(gè)謎。

　　七

　　Farey序列

　　選取一個(gè)正整數(shù)n。把所有分母不超過(guò)n的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)找出來(lái)，從小到大排序。這個(gè)分?jǐn)?shù)序列就叫做Farey序列。例如，下面展示的就是n=7時(shí)的Farey序列。

　　定理：在Farey序列中，對(duì)于任意兩個(gè)相鄰分?jǐn)?shù)，先算出前者的分母乘以后者的分子，再算出前者的分子乘以后者的分母，則這兩個(gè)乘積一定正好相差1！

　　這個(gè)定理有從數(shù)論到圖論的各種證明。甚至有一種證明方法巧妙地借助Pick定理，把它轉(zhuǎn)換為了一個(gè)不證自明的幾何問(wèn)題！

　　八

　　的解

　　經(jīng)典數(shù)字謎題：用1到9組成一個(gè)九位數(shù)，使得這個(gè)數(shù)的第一位能被1整除，前兩位組成的兩位數(shù)能被2整除，前三位組成的三位數(shù)能被3整除，以此類(lèi)推，一直到整個(gè)九位數(shù)能被9整除。

　　沒(méi)錯(cuò)，真的有這樣猛的數(shù)：381654729。其中3能被1整除，38能被2整除，381能被3整除，一直到整個(gè)數(shù)能被9整除。這個(gè)數(shù)既可以用整除的性質(zhì)一步步推出來(lái)，也能利用計(jì)算機(jī)編程找到。

　　另一個(gè)有趣的事實(shí)是，在所有由1到9所組成的362880個(gè)不同的九位數(shù)中，381654729是一個(gè)滿(mǎn)足要求的數(shù)！

　　九

　　數(shù)在變，數(shù)字不變

　　123456789的兩倍是246913578，正好又是一個(gè)由1到9組成的數(shù)字。

　　246913578的兩倍是493827156，正好又是一個(gè)由1到9組成的數(shù)字。

　　把493827156再翻一倍，987654312，依舊恰好由數(shù)字1到9組成的。

　　把987654312再翻一倍的話(huà)，將會(huì)得到一個(gè)10位數(shù)1975308624，它里面仍然沒(méi)有重復(fù)數(shù)字，恰好由0到9這10個(gè)數(shù)字組成。

　　再把1975308624翻一倍，這個(gè)數(shù)將變成3950617248，依舊是由0到9組成的。

　　不過(guò)，這個(gè)規(guī)律卻并不會(huì)一直持續(xù)下去。繼續(xù)把3950617248翻一倍將會(huì)得到7901234496，第一次出現(xiàn)了例外。

　　十

　　三個(gè)神奇的分?jǐn)?shù)

　　1/49化成小數(shù)后等于0.0204081632…，把小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)字兩位兩位斷開(kāi)，前五個(gè)數(shù)依次是2、4、8、16、32，每個(gè)數(shù)正好都是前一個(gè)數(shù)的兩倍。

　　100/9899等于0.01010203050813213455…，兩位兩位斷開(kāi)后，每一個(gè)數(shù)正好都是前兩個(gè)數(shù)之和（也即Fibonacci數(shù)列）。

　　而100/9801=0.0102030405060708091011121314151617181920212223…

　　利用組合數(shù)學(xué)中的“生成函數(shù)”可以完美地解釋這些現(xiàn)象的產(chǎn)生原因。