河北工業(yè)大學數(shù)學分析2019考研大綱
科目代碼：601科目名稱：數(shù)學分析適用專業(yè)：數(shù)學、統(tǒng)計學
一、考試要求
數(shù)學分析適用于河北工業(yè)大學理學院數(shù)學專業(yè)和統(tǒng)計學專業(yè)研究生招生專業(yè)課考試。主要考察對于數(shù)學分析基本概念、基本理論和基本方法以及運用所學知識分析問題和解決問題的能力。
二、考試形式
試卷采用客觀題型和主觀題型相結(jié)合的形式，主要包括計算題、證明題等�？荚嚂r間為3小時，總分為150分。
三、考試內(nèi)容
(一)變量與函數(shù)函數(shù)的概念、復合函數(shù)和反函數(shù)、基本初等函數(shù)。
(二)極限與連續(xù)
1、數(shù)列極限和無窮大量：數(shù)列極限的定義、性質(zhì)、運算，單調(diào)有界數(shù)列，無窮大量的定義、性質(zhì)及運算。
2、函數(shù)極限:函數(shù)在一點的極限，函數(shù)極限的性質(zhì)和運算，單側(cè)極限，函數(shù)在無窮遠出的極限，函數(shù)值趨于無窮大的情形，重要極限。
3、連續(xù)函數(shù):連續(xù)的定義、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和運算，不連續(xù)點的類型，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。
4、無窮大量和無窮小量的階。
(三)關(guān)于實數(shù)的基本定理及閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明
1、關(guān)于實數(shù)基本定理：子列的概念，上(下)確界，區(qū)間套定理，致密性定理，Cauchy收斂原理，有限覆蓋定理。
2、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明：有界性定理，大和小值定理，零點存在定理，反函數(shù)連續(xù)性定理，一致連續(xù)性定理。
(四)導數(shù)與微分
1、導數(shù)的定義,導數(shù)的幾何意義和物理意義。
2、簡單函數(shù)的導數(shù):常數(shù)函數(shù)的導數(shù)，三角函數(shù)的導數(shù)，對數(shù)函數(shù)的導數(shù)，冪函數(shù)的導數(shù)。
3、求導法則：導數(shù)的四則運算，反函數(shù)的導數(shù)，復合函數(shù)的導數(shù)。
4、微分及其運算：微分的定義，微分的運算法則。
5、隱函數(shù)及參數(shù)方程所表示函數(shù)的求導。
6、高階導數(shù)與高階微分：高階導數(shù)的運算法則，高階微分。
(五)微分學的基本定理及其應用
1、中值定理：Fermat定理，Lagrange中值定理，Cauchy中值定理。
2、Taylor公式和近似計算Taylor公式。
3、函數(shù)的單調(diào)性、極值與凸性。
4、平面曲線的曲率。
5、待定型----洛必達法則。
6、方程的近似解。
(六)不定積分
1、不定積分的概念及其運算法則。
2、不定積分的計算：換元積分法，分步積分法，有理函數(shù)積分法。
(七)定積分
1、定積分的概念。
2、定積分存在的條件：定積分存在的充分必要條件，可積函數(shù)類。
3、定積分的性質(zhì)。
4、定積分的計算：基本公式，換元積分法，分步積分公式。
(八)定積分的應用和近似計算
1、平面圖形的面積。
2、曲線的弧長。
3、體積。
4、旋轉(zhuǎn)曲面的面積。
5、質(zhì)心。
6、平均值、功的計算。
7、定積分的近似計算。
(九)數(shù)項級數(shù)
1、數(shù)列的上、下極限。
2、級數(shù)收斂性及其基本性質(zhì)。
3、正項級數(shù)及其收斂的判別法。
4、任意項級數(shù)：絕對收斂級數(shù)，交錯級數(shù)。條件收斂判別法。
5、絕對收斂級數(shù)和條件收斂級數(shù)的性質(zhì)。
6、無窮乘積。
(十)反常(廣義)積分
1、無窮限反常積分：無窮限反常積分的概念，無窮限反常積分和數(shù)項級數(shù)的關(guān)系，無窮限反常積分收斂性判別法。
2、*函數(shù)的反常積分：*函數(shù)的反常積分的概念和收斂判別法，反常積分的主值。
(十一)函數(shù)項級數(shù)、冪級數(shù)
1、函數(shù)項級數(shù)一致收斂：一致收斂的定義，性質(zhì)，判別法。
2、冪級數(shù)：收斂半徑，冪級數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的冪級數(shù)展開。
3、逼近定理。
(十二)富里埃級數(shù)和富里埃變換
1、函數(shù)的富里埃級數(shù)展開：三角函數(shù)系的正交性，富里埃級數(shù)的系數(shù)，富里埃級數(shù)的復數(shù)形式，富里埃級數(shù)的收斂性定理。
2、富里埃變換：富里埃變換的概念和性質(zhì)。
(十三)多元函數(shù)的極限與連續(xù)
1、平面點集：鄰域、點列和極限，開集、閉集和區(qū)域，平面點集的基本定理——矩形套定理、致密性定理、有限覆蓋定理、Cauchu收斂原理。
2、多元函數(shù)的極限與連續(xù)：多元函數(shù)的概念、二元函數(shù)的極限、連續(xù)性，有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，二次極限和二重極限。
(十四)偏導數(shù)與全微分
1、偏導數(shù)與全微分的概念：偏導數(shù)的定義，全微分的定義，高階偏導數(shù)和高階全微分。
2、求復合函數(shù)偏導數(shù)的鏈式法則。
3、由方程(組)所確定的函數(shù)的求導法：一個方程的情形，方程組的情形。
4、空間曲線的切線與法平面。
5、曲面的切平面與法線。
6、方向?qū)?shù)和梯度。
7、多元函數(shù)的泰勒公式。
(十五)極值和條件極值
1、極值和小二乘法。
2、條件極值。
(十六)隱函數(shù)存在定理、函數(shù)相關(guān)
1、隱函數(shù)存在定理：一個方程的情形，方程組的情形。
2、函數(shù)行列式的性質(zhì)和函數(shù)相關(guān)。
(十七)含參變量的積分
含參變量積分的連續(xù)性、可微性及交換積分次序的定理。
(十八)含參變量的廣義積分
1、一致收斂性的定義。
2、一致收斂積分的判別法。
3、一致收斂積分的性質(zhì)。
4、阿貝爾判別法和狄立克萊判別法。
5、歐拉積分。
(十九)積分的定義和性質(zhì)
1、二重積分、三重積分、第一類曲線積分、曲面積分的概念。
2、積分的性質(zhì)。
(二十)重積分的計算和應用
1、二重積分的計算：化二重積分為二次積分，用極坐標計算二重積分，二重積分的一般變量替換。
2、三重積分的計算:化三重積分為三次積分,三重積分的變量替換。
3、積分在物理上的應用----質(zhì)心、矩，引力。
4、廣義重積分。
(二十一)曲線積分和曲面積分的計算
1、第一類曲線積分的計算。
2、第一類曲面積分的計算：曲面積分，曲面積分的計算。
3、第二類曲線積分：物理意義，第二類曲線積分的計算，兩類曲線積分的聯(lián)系。
4、第二類曲面：曲面的側(cè)，第二類曲面積分的定義，兩類曲面積分的聯(lián)系，第二類曲面積分的計算。
(二十二)各種積分間的聯(lián)系和場論初步
1、各種積分間的聯(lián)系：格林(Green)公式，高斯(Gauss)公式，斯托克斯(Stokes)公式。
2、曲線積分和路徑無關(guān)的條件。
3、場論初步----場的概念，散度與旋度，保守場，Laplace算子。
四、參考書目
[1]《數(shù)學分析》，歐陽光中，高等教育出版社。
[2]《數(shù)學分析》，華東師范大學數(shù)學系，高等教育出版社。
