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　　第一章特殊平行四邊形

　　1.1菱形的性質(zhì)與判定

　　菱形的定義：一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。

　　※菱形的性質(zhì)：具有平行四邊形的性質(zhì),且四條邊都相等,兩條對(duì)角線互相垂直平分,每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。

　　菱形是軸對(duì)稱圖形，每條對(duì)角線所在的直線都是對(duì)稱軸。

　　※菱形的判別方法：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。

　　對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形。

　　四條邊都相等的四邊形是菱形。

　　1.2矩形的性質(zhì)與判定

　　※矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫矩形。矩形是特殊的平行四邊形。

　　※矩形的性質(zhì)：具有平行四邊形的性質(zhì)，且對(duì)角線相等，四個(gè)角都是直角。（矩形是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸）

　　※矩形的判定：有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形叫矩形(根據(jù)定義)。

　　對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。

　　四個(gè)角都相等的四邊形是矩形。

　　※推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

　　1.3正方形的性質(zhì)與判定

　　正方形的定義：一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。

　　※正方形的性質(zhì)：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)。（正方形是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸）

　　※正方形常用的判定：有一個(gè)內(nèi)角是直角的菱形是正方形；

　　鄰邊相等的矩形是正方形；

　　對(duì)角線相等的菱形是正方形；

　　對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形。

　　正方形、矩形、菱形和平行邊形四者之間的關(guān)系(如圖3所示)：

　　※梯形定義：一組對(duì)邊平行且另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫做梯形。

　　※兩條腰相等的梯形叫做等腰梯形。

　　※一條腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。

　　※等腰梯形的性質(zhì)：等腰梯形同一底上的兩個(gè)內(nèi)角相等，對(duì)角線相等。

　　同一底上的兩個(gè)內(nèi)角相等的梯形是等腰梯形。

　　※三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。

　　※夾在兩條平行線間的平行線段相等。

　　※在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半

　　第二章一元二次方程

　　2.1認(rèn)識(shí)一元二次方程

　　2.2用配方法求解一元二次方程

　　2.3用公式法求解一元二次方程

　　2.4用因式分解法求解一元二次方程

　　2.5一元二次方程的跟與系數(shù)的關(guān)系

　　2.6應(yīng)用一元二次方程

　　※只含有一個(gè)未知數(shù)的整式方程，且都可以化為（a、b、c為

　　常數(shù)，a≠0）的形式，這樣的方程叫一元二次方程。

　　※把（a、b、c為常數(shù)，a≠0）稱為一元二次方程的一般形式，a為二次項(xiàng)系數(shù)；b為一次項(xiàng)系數(shù)；c為常數(shù)項(xiàng)。

　　※解一元二次方程的方法：①配方法<即將其變?yōu)榈男问?

　�、诠�式法（注意在找abc時(shí)須先把方程化為一般形式）

　　③分解因式法把方程的一邊變成0，另一邊變成兩個(gè)一次因式的乘積來(lái)求解。（主要包括“提公因式”和“十字相乘”）

　　※配方法解一元二次方程的基本步驟：①把方程化成一元二次方程的一般形式；

　�、趯⒍�次項(xiàng)系數(shù)化成1；

　�、郯殉�數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；

　�、軆蛇吋由弦淮雾�(xiàng)系數(shù)的一半的平方；

　　⑤把方程轉(zhuǎn)化成的形式；

　�、迌蛇呴_方求其根。

　　※根與系數(shù)的關(guān)系：當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根；

　　當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

　　當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根。

　　※如果一元二次方程的兩根分別為x1、x2，則有：。

　　※一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的作用：

　�。�1）已知方程的一根，求另一根；

　�。�2）不解方程，求二次方程的根x1、x2的對(duì)稱式的值，特別注意以下公式：

　�、佗冖�

　�、堍�

　�、蔻咂渌�能用或表達(dá)的代數(shù)式。

　�。�3）已知方程的兩根x1、x2，可以構(gòu)造一元二次方程：

　�。�4）已知兩數(shù)x1、x2的和與積，求此兩數(shù)的問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為求一元二次方程的根

　　※在利用方程來(lái)解應(yīng)用題時(shí)，主要分為兩個(gè)步驟：①設(shè)未知數(shù)（在設(shè)未知數(shù)時(shí)，大多數(shù)情況只要設(shè)問(wèn)題為x；但也有時(shí)也須根據(jù)已知條件及等量關(guān)系等諸多方面考慮）；②尋找等量關(guān)系（一般地，題目中會(huì)含有一表述等量關(guān)系的句子，只須找到此句話即可根據(jù)其列出方程）。

　　※處理問(wèn)題的過(guò)程可以進(jìn)一步概括為：

　　第三章概率的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)

　　3.1用樹狀圖或表格求概率

　　3.2用頻率估計(jì)概率

　　※在頻率分布表里，落在各小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)叫做頻數(shù)；

　　每一小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)的比值叫做這一小組的頻率；即：

　　在頻率分布直方圖中，由于各個(gè)小長(zhǎng)方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率，而各組頻率的和等于1。因此，各個(gè)小長(zhǎng)方形的面積的和等于1。

　　※頻率分布表和頻率分布直方圖是一組數(shù)據(jù)的頻率分布的兩種不同表示形式，前者準(zhǔn)確，后者直觀。

　　用一件事件發(fā)生的頻率來(lái)估計(jì)這一件事件發(fā)生的概率。

　　可用列表的方法求出概率，但此方法不太適用較復(fù)雜情況。

　　※假設(shè)布袋內(nèi)有m個(gè)黑球，通過(guò)多次試驗(yàn)，我們可以估計(jì)出布袋內(nèi)隨機(jī)摸出一球，它為白球的概率；

　　※要估算池塘里有多少條魚，我們可先從池塘里捉上100條魚做記號(hào)，再放回池塘，之后再?gòu)某靥林凶缴?00條魚，如果其中有10條魚是有標(biāo)記的，再設(shè)池塘共有x條魚，則可依照估算出魚的條數(shù)。（注意估算出來(lái)的數(shù)據(jù)不是確切的，所以應(yīng)謂之“約是XX”）

　　※生活中存在大量的不確定事件，概率是描述不確定現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，它能準(zhǔn)確地衡量出事件發(fā)生的可能性的大小，并不表示一定會(huì)發(fā)生。

　　概率的求法：

　�。�1）一般地，如果在一次試驗(yàn)中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的m個(gè)結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率為P（A）=

　�。�2）、列表法

　　用列出表格的方法來(lái)分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。

　�。�3）樹狀圖法

　　通過(guò)列樹狀圖列出某事件的所有可能的結(jié)果，求出其概率的方法叫做樹狀圖法。

　�。ó�(dāng)一次試驗(yàn)要設(shè)計(jì)三個(gè)或更多的因素時(shí)，用列表法就不方便了，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹狀圖法求概率。）

　　第四章圖形的相似

　　4.1成正比線段

　　4.2平行線段成比例

　　4.3形似多邊形

　　4.4探索三角形相似的條件

　　4.5相似三角形判定定理的證明

　　4.6利用相似三角形測(cè)高

　　4.7相似三角形的性質(zhì)

　　4.8圖形的位似

　　一.線段的比

　　※1.如果選用同一個(gè)長(zhǎng)度單位量得兩條線段AB,CD的長(zhǎng)度分別是m、n,那么就說(shuō)這兩條線段的比AB:CD=m:n,或?qū)懗?

　　※2.四條線段a、b、c、d中,如果a與b的比等于c與d的比,即,那么這四條線段a、b、c、d叫做成比例線段,簡(jiǎn)稱比例線段.

　　※3.注意點(diǎn):

　�、賏:b=k,說(shuō)明a是b的k倍;

　　②由于線段a、b的長(zhǎng)度都是正數(shù),所以k是正數(shù);

　�、郾扰c所選線段的長(zhǎng)度單位無(wú)關(guān),求出時(shí)兩條線段的長(zhǎng)度單位要一致;

　　④除了a=b之外,a:b≠b:a,與互為倒數(shù);

　�、荼壤�的基本性質(zhì):若,則ad=bc;若ad=bc,則

　　二.黃金分割

　　※1.如圖1,點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC,如果,那么稱線段AB被點(diǎn)C黃金分割,點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn),AC與AB的比叫做黃金比.

　　※2.黃金分割點(diǎn)是美、最令人賞心悅目的點(diǎn).

　　四.相似多邊形

　　¤1.一般地,形狀相同的圖形稱為相似圖形.

　　※2.對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形.相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比.

　　五.相似三角形

　　※1.在相似多邊形中,最為簡(jiǎn)簡(jiǎn)單的就是相似三角形.

　　※2.對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比.

　　※3.全等三角形是相似三角的特例,這時(shí)相似比等于1.注意:證兩個(gè)相似三角形,與證兩個(gè)全等三角形一樣,應(yīng)把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上.

　　※4.相似三角形對(duì)應(yīng)高的比,對(duì)應(yīng)中線的比與對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比.

　　※5.相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比.

　　※6.相似三角形面積的比等于相似比的平方.

　　六.探索三角形相似的條件

　　※1.相似三角形的判定方法:

　　一般三角形直角三角形

　　基本定理:平行于三角形的一邊且和其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交的直線,所截得的三角形與原三角形相似.

　�、賰山菍�(duì)應(yīng)相等;

　�、趦蛇厡�(duì)應(yīng)成比例,且夾角相等;

　�、廴�邊對(duì)應(yīng)成比例.①一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等;

　�、趦蓷l邊對(duì)應(yīng)成比例:

　　a.兩直角邊對(duì)應(yīng)成比例;

　　b.斜邊和一直角邊對(duì)應(yīng)成比例.

　　※2.平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.

　　如圖2,l1//l2//l3,則.

　　※3.平行于三角形一邊的直線與其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.

　　八.相似的多邊形的性質(zhì)

　　※相似多邊形的周長(zhǎng)等于相似比;面積比等于相似比的平方.

　　九.圖形的放大與縮小

　　※1.如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形,而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn),那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形;這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心;這時(shí)的相似比又稱為位似比.

　　※2.位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比.

　　◎3.位似變換:

　�、僮儞Q后的圖形,不僅與原圖相似,而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn),并且對(duì)應(yīng)點(diǎn)到這一交點(diǎn)的距離成比例.像這種特殊的相似變換叫做位似變換.這個(gè)交點(diǎn)叫做位似中心.

　�、谝粋�(gè)圖形經(jīng)過(guò)位似變換后得到另一個(gè)圖形,這兩個(gè)圖形就叫做位似形.

　　③利用位似的方法,可以把一個(gè)圖形放大或縮小.