第二十一章 一元二次方程
21．1 一元二次方程
1．通過類比一元方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，分清二次項及其系數(shù)、項及其系數(shù)與常數(shù)項等概念．
2．了解一元二次方程的解的概念，會檢驗一個數(shù)是不是一元二次方程的解．
重點
通過類比一元方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和一元二次方程的解等概念，并能用這些概念解決簡單問題．
難點
一元二次方程及其二次項系數(shù)、項系數(shù)和常數(shù)項的識別．
活動1 復習舊知
1．什么是方程？你能舉一個方程的例子嗎？
2．下列哪些方程是一元方程？并給出一元方程的概念和一般形式．
(1)2x－1 (2)mx＋n＝0 (3)1x＋1＝0 (4)x2＝1
3．下列哪個實數(shù)是方程2x－1＝3的解？并給出方程的解的概念．
A．0 B．1 C．2 D．3
活動2 探究新知
根據(jù)題意列方程．
1．教材第2頁 問題1.
提出問題：
(1)正方形的大小由什么量決定？本題應該設哪個量為未知數(shù)？
(2)本題中有什么數(shù)量關(guān)系？能利用這個數(shù)量關(guān)系列方程嗎？怎么列方程？
(3)這個方程能整理為比較簡單的形式嗎？請說出整理之后的方程．
2．教材第2頁 問題2.
提出問題：
(1)本題中有哪些量？由這些量可以得到什么？
(2)比賽隊伍的數(shù)量與比賽的場次有什么關(guān)系？如果有5個隊參賽，每個隊比賽幾場？一共有20場比賽嗎？如果不是20場比賽，那么究竟比賽多少場？
(3)如果有x個隊參賽，一共比賽多少場呢？
3．一個數(shù)比另一個數(shù)大3，且兩個數(shù)之積為0，求這兩個數(shù)．
提出問題：
本題需要設兩個未知數(shù)嗎？如果可以設一個未知數(shù)，那么方程應該怎么列？
4．一個正方形的面積的2倍等于25，這個正方形的邊長是多少？
活動3 歸納概念
提出問題：
(1)上述方程與一元方程有什么相同點和不同點？
(2)類比一元方程，我們可以給這一類方程取一個什么名字？
(3)歸納一元二次方程的概念．
1．一元二次方程：只含有________個未知數(shù)，并且未知數(shù)的高次數(shù)是________，這樣的________方程，叫做一元二次方程．
2．一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2是二次項，a是二次項系數(shù)；bx是項，b是項系數(shù)；c是常數(shù)項．
提出問題：
(1)一元二次方程的一般形式有什么特點？等號的左、右分別是什么？
(2)為什么要限制a≠0，b，c可以為0嗎？
(3)2x2－x＋1＝0的項系數(shù)是1嗎？為什么？
3．一元二次方程的解(根)：使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解(根)．
活動4 例題與練習
例1 在下列方程中，屬于一元二次方程的是________．
(1)4x2＝81；(2)2x2－1＝3y；(3)1x2＋1x＝2；
(4)2x2－2x(x＋7)＝0.
總結(jié)：判斷一個方程是否是一元二次方程的依據(jù)：(1)整式方程；(2)只含有一個未知數(shù)；(3)含有未知數(shù)的項的高次數(shù)是2.注意有些方程化簡前含有二次項，但是化簡后二次項系數(shù)為0，這樣的方程不是一元二次方程．
例2 教材第3頁 例題．
例3 以－2為根的一元二次方程是( )
A．x2＋2x－1＝0 B．x2－x－2＝0
C．x2＋x＋2＝0 D．x2＋x－2＝0
總結(jié)：判斷一個數(shù)是否為方程的解，可以將這個數(shù)代入方程，判斷方程左、右兩邊的值是否相等．
練習：
1．若(a－1)x2＋3ax－1＝0是關(guān)于x的一元二次方程，那么a的取值范圍是________．
2．將下列一元二次方程化為一般形式，并分別指出它們的二次項系數(shù)、項系數(shù)和常數(shù)項．
(1)4x2＝81；(2)(3x－2)(x＋1)＝8x－3.
3．教材第4頁 練習第2題．
4．若－4是關(guān)于x的一元二次方程2x2＋7x－k＝0的一個根，則k的值為________．
答案：1.a≠1；2.略；3.略；4.k＝4.
活動5 課堂小結(jié)與作業(yè)布置
課堂小結(jié)
我們學習了一元二次方程的哪些知識？一元二次方程的一般形式是什么？一般形式中有什么限制？你能解一元二次方程嗎？
作業(yè)布置
教材第4頁 習題21.1第1～7題.21.2 解一元二次方程
21．2.1 配方法(3課時)
第1課時 直接開平方法
理解一元二次方程“降次”——轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，并能應用它解決一些具體問題．
提出問題，列出缺項的一元二次方程ax2＋c＝0，根據(jù)平方根的意義解出這個方程，然后知識遷移到解a(ex＋f)2＋c＝0型的一元二次方程．
重點
運用開平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程，領會降次——轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想．
難點
通過根據(jù)平方根的意義解形如x2＝n的方程，將知識遷移到根據(jù)平方根的意義解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．
一、復習引入
學生活動：請同學們完成下列各題．
問題1：填空
(1)x2－8x＋________＝(x－________)2；(2)9x2＋12x＋________＝(3x＋________)2；(3)x2＋px＋________＝(x＋________)2.
解：根據(jù)完全平方公式可得：(1)16 4；(2)4 2；(3)(p2)2 p2.
問題2：目前我們都學過哪些方程？二元怎樣轉(zhuǎn)化成一元？一元二次方程與一元方程有什么不同？二次如何轉(zhuǎn)化成？怎樣降次？以前學過哪些降次的方法？
二、探索新知
上面我們已經(jīng)講了x2＝9，根據(jù)平方根的意義，直接開平方得x＝±3，如果x換元為2t＋1，即(2t＋1)2＝9，能否也用直接開平方的方法求解呢？
(學生分組討論)
老師點評：回答是肯定的，把2t＋1變?yōu)樯厦娴膞，那么2t＋1＝±3
即2t＋1＝3，2t＋1＝－3
方程的兩根為t1＝1，t2＝－2
例1 解方程：(1)x2＋4x＋4＝1 (2)x2＋6x＋9＝2
分析：(1)x2＋4x＋4是一個完全平方公式，那么原方程就轉(zhuǎn)化為(x＋2)2＝1.
(2)由已知，得：(x＋3)2＝2
直接開平方，得：x＋3＝±2
即x＋3＝2，x＋3＝－2
所以，方程的兩根x1＝－3＋2，x2＝－3－2
解：略．
例2 市政府計劃2年內(nèi)將人均住房面積由現(xiàn)在的10 m2提高到14.4 m2，求每年人均住房面積增長率．
分析：設每年人均住房面積增長率為x，一年后人均住房面積就應該是10＋10x＝10(1＋x)；二年后人均住房面積就應該是10(1＋x)＋10(1＋x)x＝10(1＋x)2
解：設每年人均住房面積增長率為x，
則：10(1＋x)2＝14.4
(1＋x)2＝1.44
直接開平方，得1＋x＝±1.2
即1＋x＝1.2，1＋x＝－1.2
所以，方程的兩根是x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2
因為每年人均住房面積的增長率應為正的，因此，x2＝－2.2應舍去．
所以，每年人均住房面積增長率應為20%.
(學生小結(jié))老師引導提問：解一元二次方程，它們的共同特點是什么？
共同特點：把一個一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個一元方程．我們把這種思想稱為“降次轉(zhuǎn)化思想”．
三、鞏固練習
教材第6頁 練習．
四、課堂小結(jié)
本節(jié)課應掌握：由應用直接開平方法解形如x2＝p(p≥0)的方程，那么x＝±p轉(zhuǎn)化為應用直接開平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程，那么mx＋n＝±p，達到降次轉(zhuǎn)化之目的．若p＜0則方程無解．
五、作業(yè)布置
教材第16頁 復習鞏固1.第2課時 配方法的基本形式
理解間接即通過變形運用開平方法降次解方程，并能熟練應用它解決一些具體問題．
通過復習可直接化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面兩種形式的一元二次方程的解題步驟．
重點
講清直接降次有困難，如x2＋6x－16＝0的一元二次方程的解題步驟．
難點
將不可直接降次解方程化為可直接降次解方程的“化為”的轉(zhuǎn)化方法與技巧．
21．1 一元二次方程
1．通過類比一元方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，分清二次項及其系數(shù)、項及其系數(shù)與常數(shù)項等概念．
2．了解一元二次方程的解的概念，會檢驗一個數(shù)是不是一元二次方程的解．
重點
通過類比一元方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和一元二次方程的解等概念，并能用這些概念解決簡單問題．
難點
一元二次方程及其二次項系數(shù)、項系數(shù)和常數(shù)項的識別．
活動1 復習舊知
1．什么是方程？你能舉一個方程的例子嗎？
2．下列哪些方程是一元方程？并給出一元方程的概念和一般形式．
(1)2x－1 (2)mx＋n＝0 (3)1x＋1＝0 (4)x2＝1
3．下列哪個實數(shù)是方程2x－1＝3的解？并給出方程的解的概念．
A．0 B．1 C．2 D．3
活動2 探究新知
根據(jù)題意列方程．
1．教材第2頁 問題1.
提出問題：
(1)正方形的大小由什么量決定？本題應該設哪個量為未知數(shù)？
(2)本題中有什么數(shù)量關(guān)系？能利用這個數(shù)量關(guān)系列方程嗎？怎么列方程？
(3)這個方程能整理為比較簡單的形式嗎？請說出整理之后的方程．
2．教材第2頁 問題2.
提出問題：
(1)本題中有哪些量？由這些量可以得到什么？
(2)比賽隊伍的數(shù)量與比賽的場次有什么關(guān)系？如果有5個隊參賽，每個隊比賽幾場？一共有20場比賽嗎？如果不是20場比賽，那么究竟比賽多少場？
(3)如果有x個隊參賽，一共比賽多少場呢？
3．一個數(shù)比另一個數(shù)大3，且兩個數(shù)之積為0，求這兩個數(shù)．
提出問題：
本題需要設兩個未知數(shù)嗎？如果可以設一個未知數(shù)，那么方程應該怎么列？
4．一個正方形的面積的2倍等于25，這個正方形的邊長是多少？
活動3 歸納概念
提出問題：
(1)上述方程與一元方程有什么相同點和不同點？
(2)類比一元方程，我們可以給這一類方程取一個什么名字？
(3)歸納一元二次方程的概念．
1．一元二次方程：只含有________個未知數(shù)，并且未知數(shù)的高次數(shù)是________，這樣的________方程，叫做一元二次方程．
2．一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2是二次項，a是二次項系數(shù)；bx是項，b是項系數(shù)；c是常數(shù)項．
提出問題：
(1)一元二次方程的一般形式有什么特點？等號的左、右分別是什么？
(2)為什么要限制a≠0，b，c可以為0嗎？
(3)2x2－x＋1＝0的項系數(shù)是1嗎？為什么？
3．一元二次方程的解(根)：使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解(根)．
活動4 例題與練習
例1 在下列方程中，屬于一元二次方程的是________．
(1)4x2＝81；(2)2x2－1＝3y；(3)1x2＋1x＝2；
(4)2x2－2x(x＋7)＝0.
總結(jié)：判斷一個方程是否是一元二次方程的依據(jù)：(1)整式方程；(2)只含有一個未知數(shù)；(3)含有未知數(shù)的項的高次數(shù)是2.注意有些方程化簡前含有二次項，但是化簡后二次項系數(shù)為0，這樣的方程不是一元二次方程．
例2 教材第3頁 例題．
例3 以－2為根的一元二次方程是( )
A．x2＋2x－1＝0 B．x2－x－2＝0
C．x2＋x＋2＝0 D．x2＋x－2＝0
總結(jié)：判斷一個數(shù)是否為方程的解，可以將這個數(shù)代入方程，判斷方程左、右兩邊的值是否相等．
練習：
1．若(a－1)x2＋3ax－1＝0是關(guān)于x的一元二次方程，那么a的取值范圍是________．
2．將下列一元二次方程化為一般形式，并分別指出它們的二次項系數(shù)、項系數(shù)和常數(shù)項．
(1)4x2＝81；(2)(3x－2)(x＋1)＝8x－3.
3．教材第4頁 練習第2題．
4．若－4是關(guān)于x的一元二次方程2x2＋7x－k＝0的一個根，則k的值為________．
答案：1.a≠1；2.略；3.略；4.k＝4.
活動5 課堂小結(jié)與作業(yè)布置
課堂小結(jié)
我們學習了一元二次方程的哪些知識？一元二次方程的一般形式是什么？一般形式中有什么限制？你能解一元二次方程嗎？
作業(yè)布置
教材第4頁 習題21.1第1～7題.21.2 解一元二次方程
21．2.1 配方法(3課時)
第1課時 直接開平方法
理解一元二次方程“降次”——轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，并能應用它解決一些具體問題．
提出問題，列出缺項的一元二次方程ax2＋c＝0，根據(jù)平方根的意義解出這個方程，然后知識遷移到解a(ex＋f)2＋c＝0型的一元二次方程．
重點
運用開平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程，領會降次——轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想．
難點
通過根據(jù)平方根的意義解形如x2＝n的方程，將知識遷移到根據(jù)平方根的意義解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．
一、復習引入
學生活動：請同學們完成下列各題．
問題1：填空
(1)x2－8x＋________＝(x－________)2；(2)9x2＋12x＋________＝(3x＋________)2；(3)x2＋px＋________＝(x＋________)2.
解：根據(jù)完全平方公式可得：(1)16 4；(2)4 2；(3)(p2)2 p2.
問題2：目前我們都學過哪些方程？二元怎樣轉(zhuǎn)化成一元？一元二次方程與一元方程有什么不同？二次如何轉(zhuǎn)化成？怎樣降次？以前學過哪些降次的方法？
二、探索新知
上面我們已經(jīng)講了x2＝9，根據(jù)平方根的意義，直接開平方得x＝±3，如果x換元為2t＋1，即(2t＋1)2＝9，能否也用直接開平方的方法求解呢？
(學生分組討論)
老師點評：回答是肯定的，把2t＋1變?yōu)樯厦娴膞，那么2t＋1＝±3
即2t＋1＝3，2t＋1＝－3
方程的兩根為t1＝1，t2＝－2
例1 解方程：(1)x2＋4x＋4＝1 (2)x2＋6x＋9＝2
分析：(1)x2＋4x＋4是一個完全平方公式，那么原方程就轉(zhuǎn)化為(x＋2)2＝1.
(2)由已知，得：(x＋3)2＝2
直接開平方，得：x＋3＝±2
即x＋3＝2，x＋3＝－2
所以，方程的兩根x1＝－3＋2，x2＝－3－2
解：略．
例2 市政府計劃2年內(nèi)將人均住房面積由現(xiàn)在的10 m2提高到14.4 m2，求每年人均住房面積增長率．
分析：設每年人均住房面積增長率為x，一年后人均住房面積就應該是10＋10x＝10(1＋x)；二年后人均住房面積就應該是10(1＋x)＋10(1＋x)x＝10(1＋x)2
解：設每年人均住房面積增長率為x，
則：10(1＋x)2＝14.4
(1＋x)2＝1.44
直接開平方，得1＋x＝±1.2
即1＋x＝1.2，1＋x＝－1.2
所以，方程的兩根是x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2
因為每年人均住房面積的增長率應為正的，因此，x2＝－2.2應舍去．
所以，每年人均住房面積增長率應為20%.
(學生小結(jié))老師引導提問：解一元二次方程，它們的共同特點是什么？
共同特點：把一個一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個一元方程．我們把這種思想稱為“降次轉(zhuǎn)化思想”．
三、鞏固練習
教材第6頁 練習．
四、課堂小結(jié)
本節(jié)課應掌握：由應用直接開平方法解形如x2＝p(p≥0)的方程，那么x＝±p轉(zhuǎn)化為應用直接開平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程，那么mx＋n＝±p，達到降次轉(zhuǎn)化之目的．若p＜0則方程無解．
五、作業(yè)布置
教材第16頁 復習鞏固1.第2課時 配方法的基本形式
理解間接即通過變形運用開平方法降次解方程，并能熟練應用它解決一些具體問題．
通過復習可直接化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面兩種形式的一元二次方程的解題步驟．
重點
講清直接降次有困難，如x2＋6x－16＝0的一元二次方程的解題步驟．
難點
將不可直接降次解方程化為可直接降次解方程的“化為”的轉(zhuǎn)化方法與技巧．
