一、選擇題（每題4分，40分）
1．下列函數中，是二次函數的是（）
A． B． y=x2﹣（x﹣1）2 C． D．
考點： 二次函數的定義．
分析： 根據二次函數的定義逐一進行判斷．
解答： 解：A、等式的右邊不是整式，不是二次函數，故本選項錯誤；
B、原式化簡后可得，y=2x﹣1，故本選項錯誤；
C、符合二次函數的定義，故本選項正確；
D、分母中含有未知數，不是整式方程，因而不是一元二次方程，故本選項錯誤；
故選C．
點評： 本題考查了二次函數的定義，要知道：形如y=ax2+bx+c（其中a，b，c是常數，a≠0）的函數叫做二次函數，其中a稱為二次項系數，b為一次項系數，c為常數項．x為自變量，y為因變量．等號右邊自變量的次數是2．
2．把方程（x﹣ ）（x+ ）+（2x﹣1）2=0化為一元二次方程的一般形式是（）
A． 5x2﹣4x﹣4=0 B． x2﹣5=0 C． 5x2﹣2x+1=0 D． 5x2﹣4x+6=0
考點： 一元二次方程的一般形式．
分析： 先把（x﹣ ）（x+ ）轉化為x2﹣ 2=x2﹣5；
然后再把（2x﹣1）2利用完全平方公式展開得到4x2﹣4x+1．
再合并同類項即可得到一元二次方程的一般形式．
解答： 解：
（x﹣ ）（x+ ）+（2x﹣1）2=0
即x2﹣ 2+4x2﹣4x+1=0
移項合并同類項得：5 x2﹣4x﹣4=0
故選：A．
點評： 本題主要考查了利用平方差公式和完全平方公式化簡成為一元二次方程的一般形式．
3．拋物線y= x2的圖象向左平移2個單位，再向下平移1個單位，則所得拋物線的解析式為（）
A． y= x2+2x﹣2 B． y= x2+2x+1 C． y= x2﹣2x﹣1 D． y= x2﹣2x+1
考點： 二次函數圖象與幾何變換．
分析： 由于拋物線的圖象向左平移2個單位，再向下平移1個單位，則x'=x﹣2，y'=y﹣1，代入原拋物線方程即可得平移后的方程．
解答： 解：由題意得： ，
代入原拋物線方程得：y'+1= （x'+2）2，
變形得：y= x2+2x+1．
故選B．
點評： 本題考查了二次函數圖象的幾何變換，重點 是找出平移變換的關系．
4．將一元二次方程2x2﹣3x+1=0配方，下列配方正確的是（）
A． （x﹣ ）2=16 B． 2（x﹣ ）2= C． （x﹣ ）2= D． 以上都不對
考點： 解一元二次方程-配方法．
分析： 方程移項后，方程兩邊除以2變形得到結果，即可判定．
解答： 解：方程移項得：2x2﹣3x=﹣1，
方程兩邊除以2得：x2﹣ x=﹣ ，
配方得：x2﹣ x+ = ，即（x﹣ ）2= ，
故選C．
點評： 此題考查了解一元二次方程﹣配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．
5．已知三角形兩邊長分別為2和9，第三邊的長為二次方程x2﹣14x+48=0的根，則這個三角形的周長為（）
A． 11 B． 17 C． 17或19 D． 19
考點： 解一元二次方程-因式分解法；三角形三邊關系．
分析： 易得方程的兩根，那么根據三角形的三邊關系，得到合題意的邊，進而求得三角形周長即可．
解答： 解：解方程x2﹣14x+48=0得第三邊的邊長為6或8，
依據三角形三邊關系，不難判定邊長2，6，9不能構成三角形，
2，8，9能構成三角形，∴三角形的周長=2+8+9=19．故選D．
點評： 求三角形的周長，不能盲目地將三邊長相加起來，而應養(yǎng)成檢驗三邊長能否成三角形的好習慣．
6．已知拋物線y=ax2+bx，當a＞0，b＜0時，它的圖象經過（）
A． 一，二，三象限 B． 一，二，四象限
C． 一，三，四象限 D． 一，二，三，四象限
考點： 二次函數圖象與系數的關系．
分析： 由a＞0可以得到開口方向向上，由b＜0，a＞0可以推出對稱軸x=﹣ ＞0，由c=0可以得到此函數過原點，由此即可確定可知它的圖象經過的象限．
解答： 解：∵a＞0，
∴開口方向向上，
∵b＜0，a＞0，
∴對稱軸x=﹣ ＞0，
∵c=0，
∴此函數過原點．
∴它的圖象經過一，二，四象限．
故選B．
點評： 此題主要考查二次函數的以下性質．
7．某超市一月份的營業(yè)額為200萬元，已知第一季度的總營業(yè)額共1000萬元，如果平均每月增長率為x， 則由題意列方程應為（）
A． 200（1+x）2=1000 B． 200+200×2x=1000
C． 200+200×3x=1000 D． 200[1+（1+x）+（1+x）2]=1000
考點： 由實際問題抽象出一元二次方程．
專題： 增長率問題．
分析： 先得到二月份的營業(yè)額，三月份的營業(yè)額，等量關系為：一月份的營業(yè)額+二月份的營業(yè)額+三月份的營業(yè)額=1000萬元，把相關數值代入即可．
解答： 解：∵一月份的營業(yè)額為200萬元，平均每月增長率為x，
∴二月份的營業(yè)額為200×（1+x），
∴三月份的營業(yè)額為200×（1+x）×（1+x）=200×（1+x）2，
∴可列方程為200+200×（1+x）+200×（1+x）2=1000，
即200[1+（1+x）+（1+x）2]=1000．
故選：D．
點評： 考查由實際問題抽象出一元二次方程中求平均變化率的方法．若設變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經過兩次變化后的數量關系為a（1±x）2=b．得到第一季度的營業(yè)額的等量關系是解決本題的關鍵．
8．拋物線y=ax2+bx+c的圖象如圖，OA=OC，則（）
A． ac+1=b B． ab+1=c C． bc+1=a D． 以上都不是
考點： 二次函數圖象與系數的關系．
分析： 由OA=OC可以得到點A、C的坐標為（﹣c，0），（0，c），把點A的坐標代入y=ax2+bx+c得ac2﹣bc+c=0，c（ac﹣b+1）=0，然后即可推出ac+1=b．
解答： 解：∵OA=OC，
∴點A、C的坐標為（﹣c，0），（0，c），
∴把點A的坐標代入y=ax2+bx+c得，
ac2﹣bc+c= 0，
∴c（ac﹣b+1）=0，
∵c≠0
∴ac﹣b+1=0，
∴ac+1=b．
故選A．
點評： 此題考查了點與函數的關系，解題的關鍵是靈活應用數形結合思想．
9．已知二次函數y=2（x﹣3）2+1．下列說法：①其圖象的開口向上；②其圖象的對稱軸為直線x=﹣3；③其圖象頂點坐標為（3，﹣1）；④當x＜2，y隨x的增大而減��；⑤當x=0時，y最小值為1．則其中說法正確的有（）
A． 1個 B． 2個 C． 3個 D． 4個
考點： 二次函數的性質．
專題： 計算題．
分析： 利用拋物線的頂點式和二次函數的性質分別進行判斷．
解答： 解：∵a=2＞，
∴拋物線開口向上，所以①正確；
∵y=2（x﹣3）2+1，
∴拋物線的對稱軸為直線x=3，頂點坐標為（3，1），所以②③錯誤；
當x＜3時，y隨x的增大而減小，所以④錯誤；
當x=3時，y有最小值1，所以⑤錯誤．
故選A．
點評： 本題考查了二次函數的性質：二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標是（﹣ ， ），對稱軸直線x=﹣ ，二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質：當a＞0時，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜﹣ 時，y隨x的增大而減�。粁＞﹣ 時，y隨x的增大而增大；x=﹣ 時，y取得最小值 ，即頂點是拋物線的最低點．當a＜0時，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜﹣ 時，y隨x的增大而增大；x＞﹣ 時，y隨x的增大而減�。粁=﹣ 時，y取得值 ，即頂點是拋物線的點．
10．關于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3=0有實數根，則整數a的值是（）
A． 2 B． 1 C． 0 D． ﹣1
考點： 根的判別式．
分析： 根據方程有實數根，得到根的判別式的值大于等于0，且二次項系數不為0，即可求出整數a的值．
解答： 解：根據題意得：△=4﹣12（a﹣1）≥0，且a﹣1≠0，
解得：a≤ ，a≠1，
則整數a的值為0．
故選C．
點評： 此題考查了根的判別式，一元二次方程的定義，弄清題意是解本題的關鍵．
二、填空題（每空4分，20分）
11．使分式 的值等于零的x的值是6．
考點： 分式的值為零的條件．
專題： 計算題．
分析： 分式的值為零：分子為0，分母不為0．
解答： 解：根據題意，得
x2﹣5x﹣6=0，即（x﹣6）（x+1）=0，且x+1≠0，
解得，x=6．
故答案是：6．
點評： 本題考查了分式的值為零的條件．若分式的值為零，需同時具備兩個條件：（1）分子為0；（2）分母不為0．這兩個條件缺一不可．
12．已知點P（a，m）和Q（b，m）是拋物線y=2x2+4x﹣3上的兩個不同點，則a+b=﹣2．
考點： 二次函數圖象上點的坐標特征．
專題： 壓軸題．
分析： 由于P、Q兩點的縱坐標相等，故這兩點是拋物線上關于對稱軸對稱的兩點；而拋物線y=2x2+4x﹣3的對稱軸為x=﹣1，根據對稱軸x= ，可求a+b的值．
解答： 解：已知點P（a，m）和Q（b，m）是拋物線y=2x2+4x﹣3上的兩個不同點，
因為點P（a，m）和Q（b，m）點的縱坐標相等，
所以，它們關于其對稱軸對稱，
而拋物線y=2x2+4x﹣3的對稱軸為x=﹣1；
故有a+b=﹣2．
故答案為：﹣2．
點評： 本題考查了函數圖象上的點的坐標與函數解析式的關系，以及關于y軸對稱的點坐標之間的關系．
13．一元二次方程2x2﹣3x﹣1=0與x2﹣x+3=0的所有實數根的和等于 ．
考點： 根與系數的關系．
專題： 計算題．
分析： 先判斷x2﹣x+3=0沒有實數解，則兩個方程的所有實數根的和就是2x2﹣3x﹣1=0的兩根之和，然后根據根與系數的關系求解．
解答： 解：方程2x2﹣3x﹣1=0的兩根之和為
∵x2﹣x+3=0沒有實數解，
∴方程2x2﹣3x﹣1=0與x2﹣x+3=0的所有實數根的和等于 ．
故答案為 ．
點評： 本題考查了根與系數的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x1+x2= ，x1x2= ．
14．若關于x的方程a（x+m）2+b=0的兩個根﹣1和4（a．m．b均為常數，a≠0），則方程a（x+m﹣3）2+b=0是x1=2，x2=7．
考點： 解一元二次方程-直接開平方法．
分析： 先利用直接開平方法得方程a（x+m）2+b=0的解為x=﹣m± ，則﹣m+ ，=1，﹣m﹣ ，=﹣2，再解方程a（x+m﹣2）2+b=0得x=3﹣m± ，然后利用整體代入的方法得到方程a（x+m﹣3）2+b=0的根．
解答： 解：解：解方程a（x+m）2+b=0得x=﹣m± ，
∵方程a（x+m）2+b=0（a，m，b均為常數，a≠0）的根是x1=﹣1，x2=4，
∴﹣m+ ，=﹣1，﹣m﹣ ，=4，
∵解方程a（x+m﹣3）2+b=0得x=3﹣m± ，
∴x1=3﹣1=2，x2=3+4=7．
故答案為x1=2，x2=7．
點評： 本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．又因為只含有一個未知數的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．
15．如圖所示的是二次函數y=ax2+bx+c的圖象，某學霸從下面五條信息中：
（1）a＜0；（2）b2﹣4ac＞0；（3）c＞1；（4）2a﹣b＞0；（5）a+b+c＜0．準確找到了其中錯誤的信息，它們分別是（1）（2）（5）（只填序號）
考點： 二次函數圖象與系數的關系．
分析： 由拋物線的開口方向判斷a與0的關系；根據拋物線與x軸交點個數判斷b2﹣4ac與0的關系；由拋物線與y軸的交點判斷c與1的關系；根據對稱軸在x=﹣1的左邊判斷2a﹣b與0的關系；把x=1，y=0代入y=ax2+bx+c，可判斷a+b+c＜0是否成立．
解答： 解：（1）∵拋物線的開口向下，
∴a＜0，故本信息正確；
（2）根據圖示知，該函數圖象與x軸有兩個交點，
故△=b2﹣4ac＞0；
故本信息正確；
（3）由圖象知，該函數圖象與y軸的交點在點（0，1）以下，
所以c＜1，故本信息錯誤；
（4）由圖示，知對稱軸x=﹣ ＞﹣1；
又∵a＜0，
∴﹣b＜﹣2a，即2a﹣b＜0，故本信息錯誤；
（5）根據圖示可知，當x=1，即y=a+b+c＜0，
所以a+b+c＜0，故本信息正確；
故答案為（1）（2）（5）．
點評： 主要考查圖象與二次函數系數之間的關系，會利用對稱軸的范圍求2a與b的關系，以及二次函數與方程之間的轉換，根的判別式的熟練運 用．
三、解答題
16．（16分）解方程
①（5x﹣1）2=3（5x﹣1）
②x2+2x=7．
考點： 解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．
分析： ①先移項，再把等號左邊因式分解，最后分別解方程即可；
②先在等號左右兩邊加上一次項系數的一半的平方，再進行配方，然后開方即可得出答案．
解答： 解：①（5x﹣1）2=3（5x﹣1），
（5x﹣1）2﹣3（5x﹣1）=0，
（5x﹣1）（5x﹣1﹣3）=0，
（5x﹣1）（5x﹣4）=0，
x1= ，x2= ；
②x2+2x=7，
x2+2x+1=8，
（x+1）2=8，
x+1=±2 ，
x1=﹣1+2 ，x2=﹣1﹣2 ．
點評： 本題考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據方程的特點靈活選用合適的方法．
17．若拋物線y=ax2+bx+c的頂點是A（﹣2，1），且經過點B（1，0），求該拋物線的函數解析式．
考點： 待定系數法求二次函數解析式．
分析： 設拋物線的解析式為y=a（x+2）2+1，將點B（1，0）代入解析式即可求出a的值，從而得到二次函數解析式．
解答： 解：設拋物線的解析式為y=a（x+2）2+1，
將B（1，0）代入y=a（x+2）2+1得，
a=﹣ ，
函數解析式為y=﹣ （x+2）2+1，
展開得y=﹣ x2﹣ x+ ．
所以該拋物線的函數解析式為y=﹣ x2﹣ x+ ．
點評： 本題考查了待定系數法求函數解析式，知道二次函數的頂點式是解題的關鍵．
18．若﹣3+ 是方程x2+kx+4=0的一個根，求另一根和k的值．
考點： 根與系數的關系．
分析： 設方程的另一個根是m，根據韋達定理，可以得到兩根的積等于4，兩根的和等于﹣k，即可求解．
解答： 解：設方程的另一個根是m，根據韋達定理，可以得到：
（﹣3+ ）•m=4，且﹣3+ +m=﹣k，
解得：m=﹣3﹣ ，k=6．
即方程的另一根為﹣ 3﹣ ，k=6．
點評： 本題主要考查了一元二次方程的根與系數的關系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x1+x2= ，x1x2= ．
19．某工廠大門是一拋物線形水泥建筑物（如圖），大門地面寬AB=4米，頂部C離地面高度為4.4米．現有一輛滿載貨物的汽車欲通過大門，貨物頂部距地面2.8米，裝貨寬度為2.4米．請通過計算，判斷這輛汽車能否順利通過大門？
考點： 二次函數的應用．
專題： 壓軸題 ．
分析： 本題只要計算大門頂部寬2.4米的部分離地面是否超過2.8米即可．如果設C點是原點，那么A的坐標就是（﹣2，﹣4.4），B的坐標是（2，﹣4.4），可設這個函數為y=kx2，那么將A的坐標代入后即可得出y=﹣1.1x2，那么大門頂部寬2.4m的部分的兩點的橫坐標就應該是﹣1.2和1.2，因此將x=1.2代入函數式中可得y≈﹣1.6，因此大門頂部寬2.4m部分離地面的高度是4.4﹣1.6=2.8m，因此這輛汽車正好可以通過大門．
解答： 解：根據題意知，A（﹣2，﹣4.4），B（2，﹣4.4），設這個函數為y=kx2．
將A的坐標代入，得y=﹣1.1x2，
∴E、F兩點的橫坐標就應該是﹣1.2和1.2，
∴將x=1.2代入函數式，得
y≈﹣1.6，
∴GH=CH﹣CG=4.4﹣1.6=2.8m，
因此這輛汽車正好可以通過大門．
點評： 本題主要結合實際問題考查了二次函數的應用，得出二次函數式進而求出大門頂部寬2.4m部分離地面的高度是解題的關鍵．
20．某商場銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，為了擴大銷售、增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當的降價措施，經調查發(fā)現，如果每件襯衫每降價1元，商場平均每天可多售出4件，若商場平均每天盈利2100元，每件襯衫應降價多少元？
考點： 一元二次方程的應用．
專題： 銷售問題．
分析： 商場平均每天盈利數=每件 的盈利×售出件數；每件的盈利=原來每件的盈利﹣降價數．設每件襯衫應降價x元，然后根據前面的關系式即可列出方程，解方程即可求出結果．
解答： 解：設每件襯衫應降價x元，可使商場每天盈利2100元．
根據題意得（45﹣x）=2100，
解得x1=10，x2=30．
因盡快減少庫存，故x=30．
答：每件襯衫應降價30元．
點評： 需要注意的是：
（1）盈利下降，銷售量就提高，每件盈利減，銷售量就加；
（2）在盈利相同的情況下，盡快減少庫存，就是要多賣，降價越多，賣的也越多，所以取降價多的那一種．
21．如圖，線段AB的長為2，C為線段AB上一個動點，分別以 AC、BC為斜邊在AB的同側作兩個等腰直角三角形△ACD和△BCE．
（1）設DE的長為y，AC的長為x，求出y與x的函數關系式；
（2）求出DE的最小值．
考點： 二次函數的應用．
分析： （1）設AC=x，則BC=2﹣x，然后分別表示出DC、EC，繼而在RT△DCE中，利用勾股定理求出DE長度的表達式；
（2）利用函數的性質進行解答即可．
解答： 解：如圖，
設AC=x，則BC=2﹣x，
∵△ACD和△BCE分別是等腰直角三角形，
∴∠DCA=45°，∠ECB=45°，DC= x，CE= （2﹣x），
∴∠DCE=90°，
故DE2=DC2+CE2= x2+ （2﹣x）2=x2﹣2x+2=（x﹣ 1）2+1，
∴y= ．
（2）y=
當x=1時，DE取得最小值，DE也取得最小值，最小值為1．
點評： 此題考查了二次函數最值及等腰直角三角形，難度不大，關鍵是表示出DC、CE，得出DE的表達式，還要求我們掌握配方法求二次函數最值．
22．如圖，一位籃球運動員在離籃圈水平距離4m處跳起投籃，球沿一條拋物線運行，當球運行的水平距離為2.5m時，達到高度3.5m，然后準確落入籃框內．已知籃圈中心離地面高度為3.05m．
（1）建立圖中所示的直角坐標系，求拋物線所對應的函數關系式；
（2）若該運動員身高1.8m，這次跳投時，球在他頭頂上方0.25m處出手．問：球出手時，他跳離地面多高？
考點： 二次函數的應用．
分析： （1）設拋物線的表達式為y=ax2+3.5，依題意可知圖象經過的坐標，由此可得a的值．
（2）設球出手時，他跳離地面的高度為hm，則可得h+ 2.05=﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5．
解答： 解：（1）∵拋物線的頂點坐標為（0，3.5），
∴可設拋物線的函數關系式為y=ax2+3.5．
∵藍球中心（1.5，3.05）在拋物線上，將它的坐標代入上式，得 3.05=a×1.52+3.5，
∴a=﹣ ，
∴y=﹣ x2+3.5．
（2）設球出手時，他跳離地面的高度為hm，
因為（1）中求得y=﹣0.2x2+3.5，
則球出手時，球的高度為h+1.8+0.25=（h+2.05）m，
∴h+2.05=﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5，
∴h=0.2（m）．
答：球出手時，他跳離地面的高度為0.2m．
點評： 本題考查了函數類綜合應用題，對函數定義、性質，以及在實際問題中的應用等技能進行了全面考查，對學生的數學思維具有很大的挑戰(zhàn)性．
23．如圖所示，矩形ABCD的邊AB=3，AD=2，將此矩形置入直角坐標系中，使AB在x軸上，點C在直線y=x﹣2上．
（1）求矩形各頂點坐標；
（2）若直線y=x﹣2與y軸交于點E，拋物線過E、A、B三點，求拋物線的關系式；
（3）判斷上述拋物線的頂點是否落在矩形ABCD內部，并說明理由．
考點： 二次函數綜合題．
專題： 綜合題．
分析： （1）由于AD=2，即C點的縱坐標為2，將其代入已知的直線解析式中，即可求得C點的橫坐標，進而由AB的長，求得A、D的橫坐標，由此可確定矩形的四頂點的坐標．
（2）根據直線y=x﹣2可求得E點的坐標，進而可利用待定系數法求出該拋物線的解析式．
（3）根據（2）所得拋物線的解析式，即可由配方法或公式法求得其頂點坐標，進而根據矩形的四頂點坐標，來判斷此頂點是否在矩形的內部．
解答： 解：（1）如答圖所示 ．
∵y=x﹣2，AD=BC=2，設C點坐標為（m，2），
把C（m，2）代入y=x﹣2，
即2=m﹣2，
∴m=4，
∴C（4，2），
∴OB=4，AB=3，
∴OA=4﹣3=1，
∴A（1，0），B（4，0），C（4，2），D（1，2）．
（2）∵y=x﹣2，
∴令x=0，得y=﹣2，
∴E（0，﹣2）．
設經過E（0，﹣2），A（1，0），B（4，0）三點的拋物線關系式為y=ax2+bx+c，
∴ ，
解得 ；
∴y= ．
（3）拋物線頂點在矩形ABCD內部．
∵y= ，
∴頂點為 ，
∵ ，
∴頂點 在矩形ABCD內部．
點評： 此題主要考查了函數圖象上點的坐標意義、矩形的性質、二次函數解析式的確定等知識，難度不大，細心求解即可．
1．下列函數中，是二次函數的是（）
A． B． y=x2﹣（x﹣1）2 C． D．
考點： 二次函數的定義．
分析： 根據二次函數的定義逐一進行判斷．
解答： 解：A、等式的右邊不是整式，不是二次函數，故本選項錯誤；
B、原式化簡后可得，y=2x﹣1，故本選項錯誤；
C、符合二次函數的定義，故本選項正確；
D、分母中含有未知數，不是整式方程，因而不是一元二次方程，故本選項錯誤；
故選C．
點評： 本題考查了二次函數的定義，要知道：形如y=ax2+bx+c（其中a，b，c是常數，a≠0）的函數叫做二次函數，其中a稱為二次項系數，b為一次項系數，c為常數項．x為自變量，y為因變量．等號右邊自變量的次數是2．
2．把方程（x﹣ ）（x+ ）+（2x﹣1）2=0化為一元二次方程的一般形式是（）
A． 5x2﹣4x﹣4=0 B． x2﹣5=0 C． 5x2﹣2x+1=0 D． 5x2﹣4x+6=0
考點： 一元二次方程的一般形式．
分析： 先把（x﹣ ）（x+ ）轉化為x2﹣ 2=x2﹣5；
然后再把（2x﹣1）2利用完全平方公式展開得到4x2﹣4x+1．
再合并同類項即可得到一元二次方程的一般形式．
解答： 解：
（x﹣ ）（x+ ）+（2x﹣1）2=0
即x2﹣ 2+4x2﹣4x+1=0
移項合并同類項得：5 x2﹣4x﹣4=0
故選：A．
點評： 本題主要考查了利用平方差公式和完全平方公式化簡成為一元二次方程的一般形式．
3．拋物線y= x2的圖象向左平移2個單位，再向下平移1個單位，則所得拋物線的解析式為（）
A． y= x2+2x﹣2 B． y= x2+2x+1 C． y= x2﹣2x﹣1 D． y= x2﹣2x+1
考點： 二次函數圖象與幾何變換．
分析： 由于拋物線的圖象向左平移2個單位，再向下平移1個單位，則x'=x﹣2，y'=y﹣1，代入原拋物線方程即可得平移后的方程．
解答： 解：由題意得： ，
代入原拋物線方程得：y'+1= （x'+2）2，
變形得：y= x2+2x+1．
故選B．
點評： 本題考查了二次函數圖象的幾何變換，重點 是找出平移變換的關系．
4．將一元二次方程2x2﹣3x+1=0配方，下列配方正確的是（）
A． （x﹣ ）2=16 B． 2（x﹣ ）2= C． （x﹣ ）2= D． 以上都不對
考點： 解一元二次方程-配方法．
分析： 方程移項后，方程兩邊除以2變形得到結果，即可判定．
解答： 解：方程移項得：2x2﹣3x=﹣1，
方程兩邊除以2得：x2﹣ x=﹣ ，
配方得：x2﹣ x+ = ，即（x﹣ ）2= ，
故選C．
點評： 此題考查了解一元二次方程﹣配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．
5．已知三角形兩邊長分別為2和9，第三邊的長為二次方程x2﹣14x+48=0的根，則這個三角形的周長為（）
A． 11 B． 17 C． 17或19 D． 19
考點： 解一元二次方程-因式分解法；三角形三邊關系．
分析： 易得方程的兩根，那么根據三角形的三邊關系，得到合題意的邊，進而求得三角形周長即可．
解答： 解：解方程x2﹣14x+48=0得第三邊的邊長為6或8，
依據三角形三邊關系，不難判定邊長2，6，9不能構成三角形，
2，8，9能構成三角形，∴三角形的周長=2+8+9=19．故選D．
點評： 求三角形的周長，不能盲目地將三邊長相加起來，而應養(yǎng)成檢驗三邊長能否成三角形的好習慣．
6．已知拋物線y=ax2+bx，當a＞0，b＜0時，它的圖象經過（）
A． 一，二，三象限 B． 一，二，四象限
C． 一，三，四象限 D． 一，二，三，四象限
考點： 二次函數圖象與系數的關系．
分析： 由a＞0可以得到開口方向向上，由b＜0，a＞0可以推出對稱軸x=﹣ ＞0，由c=0可以得到此函數過原點，由此即可確定可知它的圖象經過的象限．
解答： 解：∵a＞0，
∴開口方向向上，
∵b＜0，a＞0，
∴對稱軸x=﹣ ＞0，
∵c=0，
∴此函數過原點．
∴它的圖象經過一，二，四象限．
故選B．
點評： 此題主要考查二次函數的以下性質．
7．某超市一月份的營業(yè)額為200萬元，已知第一季度的總營業(yè)額共1000萬元，如果平均每月增長率為x， 則由題意列方程應為（）
A． 200（1+x）2=1000 B． 200+200×2x=1000
C． 200+200×3x=1000 D． 200[1+（1+x）+（1+x）2]=1000
考點： 由實際問題抽象出一元二次方程．
專題： 增長率問題．
分析： 先得到二月份的營業(yè)額，三月份的營業(yè)額，等量關系為：一月份的營業(yè)額+二月份的營業(yè)額+三月份的營業(yè)額=1000萬元，把相關數值代入即可．
解答： 解：∵一月份的營業(yè)額為200萬元，平均每月增長率為x，
∴二月份的營業(yè)額為200×（1+x），
∴三月份的營業(yè)額為200×（1+x）×（1+x）=200×（1+x）2，
∴可列方程為200+200×（1+x）+200×（1+x）2=1000，
即200[1+（1+x）+（1+x）2]=1000．
故選：D．
點評： 考查由實際問題抽象出一元二次方程中求平均變化率的方法．若設變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經過兩次變化后的數量關系為a（1±x）2=b．得到第一季度的營業(yè)額的等量關系是解決本題的關鍵．
8．拋物線y=ax2+bx+c的圖象如圖，OA=OC，則（）
A． ac+1=b B． ab+1=c C． bc+1=a D． 以上都不是
考點： 二次函數圖象與系數的關系．
分析： 由OA=OC可以得到點A、C的坐標為（﹣c，0），（0，c），把點A的坐標代入y=ax2+bx+c得ac2﹣bc+c=0，c（ac﹣b+1）=0，然后即可推出ac+1=b．
解答： 解：∵OA=OC，
∴點A、C的坐標為（﹣c，0），（0，c），
∴把點A的坐標代入y=ax2+bx+c得，
ac2﹣bc+c= 0，
∴c（ac﹣b+1）=0，
∵c≠0
∴ac﹣b+1=0，
∴ac+1=b．
故選A．
點評： 此題考查了點與函數的關系，解題的關鍵是靈活應用數形結合思想．
9．已知二次函數y=2（x﹣3）2+1．下列說法：①其圖象的開口向上；②其圖象的對稱軸為直線x=﹣3；③其圖象頂點坐標為（3，﹣1）；④當x＜2，y隨x的增大而減��；⑤當x=0時，y最小值為1．則其中說法正確的有（）
A． 1個 B． 2個 C． 3個 D． 4個
考點： 二次函數的性質．
專題： 計算題．
分析： 利用拋物線的頂點式和二次函數的性質分別進行判斷．
解答： 解：∵a=2＞，
∴拋物線開口向上，所以①正確；
∵y=2（x﹣3）2+1，
∴拋物線的對稱軸為直線x=3，頂點坐標為（3，1），所以②③錯誤；
當x＜3時，y隨x的增大而減小，所以④錯誤；
當x=3時，y有最小值1，所以⑤錯誤．
故選A．
點評： 本題考查了二次函數的性質：二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標是（﹣ ， ），對稱軸直線x=﹣ ，二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質：當a＞0時，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜﹣ 時，y隨x的增大而減�。粁＞﹣ 時，y隨x的增大而增大；x=﹣ 時，y取得最小值 ，即頂點是拋物線的最低點．當a＜0時，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜﹣ 時，y隨x的增大而增大；x＞﹣ 時，y隨x的增大而減�。粁=﹣ 時，y取得值 ，即頂點是拋物線的點．
10．關于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3=0有實數根，則整數a的值是（）
A． 2 B． 1 C． 0 D． ﹣1
考點： 根的判別式．
分析： 根據方程有實數根，得到根的判別式的值大于等于0，且二次項系數不為0，即可求出整數a的值．
解答： 解：根據題意得：△=4﹣12（a﹣1）≥0，且a﹣1≠0，
解得：a≤ ，a≠1，
則整數a的值為0．
故選C．
點評： 此題考查了根的判別式，一元二次方程的定義，弄清題意是解本題的關鍵．
二、填空題（每空4分，20分）
11．使分式 的值等于零的x的值是6．
考點： 分式的值為零的條件．
專題： 計算題．
分析： 分式的值為零：分子為0，分母不為0．
解答： 解：根據題意，得
x2﹣5x﹣6=0，即（x﹣6）（x+1）=0，且x+1≠0，
解得，x=6．
故答案是：6．
點評： 本題考查了分式的值為零的條件．若分式的值為零，需同時具備兩個條件：（1）分子為0；（2）分母不為0．這兩個條件缺一不可．
12．已知點P（a，m）和Q（b，m）是拋物線y=2x2+4x﹣3上的兩個不同點，則a+b=﹣2．
考點： 二次函數圖象上點的坐標特征．
專題： 壓軸題．
分析： 由于P、Q兩點的縱坐標相等，故這兩點是拋物線上關于對稱軸對稱的兩點；而拋物線y=2x2+4x﹣3的對稱軸為x=﹣1，根據對稱軸x= ，可求a+b的值．
解答： 解：已知點P（a，m）和Q（b，m）是拋物線y=2x2+4x﹣3上的兩個不同點，
因為點P（a，m）和Q（b，m）點的縱坐標相等，
所以，它們關于其對稱軸對稱，
而拋物線y=2x2+4x﹣3的對稱軸為x=﹣1；
故有a+b=﹣2．
故答案為：﹣2．
點評： 本題考查了函數圖象上的點的坐標與函數解析式的關系，以及關于y軸對稱的點坐標之間的關系．
13．一元二次方程2x2﹣3x﹣1=0與x2﹣x+3=0的所有實數根的和等于 ．
考點： 根與系數的關系．
專題： 計算題．
分析： 先判斷x2﹣x+3=0沒有實數解，則兩個方程的所有實數根的和就是2x2﹣3x﹣1=0的兩根之和，然后根據根與系數的關系求解．
解答： 解：方程2x2﹣3x﹣1=0的兩根之和為
∵x2﹣x+3=0沒有實數解，
∴方程2x2﹣3x﹣1=0與x2﹣x+3=0的所有實數根的和等于 ．
故答案為 ．
點評： 本題考查了根與系數的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x1+x2= ，x1x2= ．
14．若關于x的方程a（x+m）2+b=0的兩個根﹣1和4（a．m．b均為常數，a≠0），則方程a（x+m﹣3）2+b=0是x1=2，x2=7．
考點： 解一元二次方程-直接開平方法．
分析： 先利用直接開平方法得方程a（x+m）2+b=0的解為x=﹣m± ，則﹣m+ ，=1，﹣m﹣ ，=﹣2，再解方程a（x+m﹣2）2+b=0得x=3﹣m± ，然后利用整體代入的方法得到方程a（x+m﹣3）2+b=0的根．
解答： 解：解：解方程a（x+m）2+b=0得x=﹣m± ，
∵方程a（x+m）2+b=0（a，m，b均為常數，a≠0）的根是x1=﹣1，x2=4，
∴﹣m+ ，=﹣1，﹣m﹣ ，=4，
∵解方程a（x+m﹣3）2+b=0得x=3﹣m± ，
∴x1=3﹣1=2，x2=3+4=7．
故答案為x1=2，x2=7．
點評： 本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．又因為只含有一個未知數的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．
15．如圖所示的是二次函數y=ax2+bx+c的圖象，某學霸從下面五條信息中：
（1）a＜0；（2）b2﹣4ac＞0；（3）c＞1；（4）2a﹣b＞0；（5）a+b+c＜0．準確找到了其中錯誤的信息，它們分別是（1）（2）（5）（只填序號）
考點： 二次函數圖象與系數的關系．
分析： 由拋物線的開口方向判斷a與0的關系；根據拋物線與x軸交點個數判斷b2﹣4ac與0的關系；由拋物線與y軸的交點判斷c與1的關系；根據對稱軸在x=﹣1的左邊判斷2a﹣b與0的關系；把x=1，y=0代入y=ax2+bx+c，可判斷a+b+c＜0是否成立．
解答： 解：（1）∵拋物線的開口向下，
∴a＜0，故本信息正確；
（2）根據圖示知，該函數圖象與x軸有兩個交點，
故△=b2﹣4ac＞0；
故本信息正確；
（3）由圖象知，該函數圖象與y軸的交點在點（0，1）以下，
所以c＜1，故本信息錯誤；
（4）由圖示，知對稱軸x=﹣ ＞﹣1；
又∵a＜0，
∴﹣b＜﹣2a，即2a﹣b＜0，故本信息錯誤；
（5）根據圖示可知，當x=1，即y=a+b+c＜0，
所以a+b+c＜0，故本信息正確；
故答案為（1）（2）（5）．
點評： 主要考查圖象與二次函數系數之間的關系，會利用對稱軸的范圍求2a與b的關系，以及二次函數與方程之間的轉換，根的判別式的熟練運 用．
三、解答題
16．（16分）解方程
①（5x﹣1）2=3（5x﹣1）
②x2+2x=7．
考點： 解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．
分析： ①先移項，再把等號左邊因式分解，最后分別解方程即可；
②先在等號左右兩邊加上一次項系數的一半的平方，再進行配方，然后開方即可得出答案．
解答： 解：①（5x﹣1）2=3（5x﹣1），
（5x﹣1）2﹣3（5x﹣1）=0，
（5x﹣1）（5x﹣1﹣3）=0，
（5x﹣1）（5x﹣4）=0，
x1= ，x2= ；
②x2+2x=7，
x2+2x+1=8，
（x+1）2=8，
x+1=±2 ，
x1=﹣1+2 ，x2=﹣1﹣2 ．
點評： 本題考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據方程的特點靈活選用合適的方法．
17．若拋物線y=ax2+bx+c的頂點是A（﹣2，1），且經過點B（1，0），求該拋物線的函數解析式．
考點： 待定系數法求二次函數解析式．
分析： 設拋物線的解析式為y=a（x+2）2+1，將點B（1，0）代入解析式即可求出a的值，從而得到二次函數解析式．
解答： 解：設拋物線的解析式為y=a（x+2）2+1，
將B（1，0）代入y=a（x+2）2+1得，
a=﹣ ，
函數解析式為y=﹣ （x+2）2+1，
展開得y=﹣ x2﹣ x+ ．
所以該拋物線的函數解析式為y=﹣ x2﹣ x+ ．
點評： 本題考查了待定系數法求函數解析式，知道二次函數的頂點式是解題的關鍵．
18．若﹣3+ 是方程x2+kx+4=0的一個根，求另一根和k的值．
考點： 根與系數的關系．
分析： 設方程的另一個根是m，根據韋達定理，可以得到兩根的積等于4，兩根的和等于﹣k，即可求解．
解答： 解：設方程的另一個根是m，根據韋達定理，可以得到：
（﹣3+ ）•m=4，且﹣3+ +m=﹣k，
解得：m=﹣3﹣ ，k=6．
即方程的另一根為﹣ 3﹣ ，k=6．
點評： 本題主要考查了一元二次方程的根與系數的關系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x1+x2= ，x1x2= ．
19．某工廠大門是一拋物線形水泥建筑物（如圖），大門地面寬AB=4米，頂部C離地面高度為4.4米．現有一輛滿載貨物的汽車欲通過大門，貨物頂部距地面2.8米，裝貨寬度為2.4米．請通過計算，判斷這輛汽車能否順利通過大門？
考點： 二次函數的應用．
專題： 壓軸題 ．
分析： 本題只要計算大門頂部寬2.4米的部分離地面是否超過2.8米即可．如果設C點是原點，那么A的坐標就是（﹣2，﹣4.4），B的坐標是（2，﹣4.4），可設這個函數為y=kx2，那么將A的坐標代入后即可得出y=﹣1.1x2，那么大門頂部寬2.4m的部分的兩點的橫坐標就應該是﹣1.2和1.2，因此將x=1.2代入函數式中可得y≈﹣1.6，因此大門頂部寬2.4m部分離地面的高度是4.4﹣1.6=2.8m，因此這輛汽車正好可以通過大門．
解答： 解：根據題意知，A（﹣2，﹣4.4），B（2，﹣4.4），設這個函數為y=kx2．
將A的坐標代入，得y=﹣1.1x2，
∴E、F兩點的橫坐標就應該是﹣1.2和1.2，
∴將x=1.2代入函數式，得
y≈﹣1.6，
∴GH=CH﹣CG=4.4﹣1.6=2.8m，
因此這輛汽車正好可以通過大門．
點評： 本題主要結合實際問題考查了二次函數的應用，得出二次函數式進而求出大門頂部寬2.4m部分離地面的高度是解題的關鍵．
20．某商場銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，為了擴大銷售、增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當的降價措施，經調查發(fā)現，如果每件襯衫每降價1元，商場平均每天可多售出4件，若商場平均每天盈利2100元，每件襯衫應降價多少元？
考點： 一元二次方程的應用．
專題： 銷售問題．
分析： 商場平均每天盈利數=每件 的盈利×售出件數；每件的盈利=原來每件的盈利﹣降價數．設每件襯衫應降價x元，然后根據前面的關系式即可列出方程，解方程即可求出結果．
解答： 解：設每件襯衫應降價x元，可使商場每天盈利2100元．
根據題意得（45﹣x）=2100，
解得x1=10，x2=30．
因盡快減少庫存，故x=30．
答：每件襯衫應降價30元．
點評： 需要注意的是：
（1）盈利下降，銷售量就提高，每件盈利減，銷售量就加；
（2）在盈利相同的情況下，盡快減少庫存，就是要多賣，降價越多，賣的也越多，所以取降價多的那一種．
21．如圖，線段AB的長為2，C為線段AB上一個動點，分別以 AC、BC為斜邊在AB的同側作兩個等腰直角三角形△ACD和△BCE．
（1）設DE的長為y，AC的長為x，求出y與x的函數關系式；
（2）求出DE的最小值．
考點： 二次函數的應用．
分析： （1）設AC=x，則BC=2﹣x，然后分別表示出DC、EC，繼而在RT△DCE中，利用勾股定理求出DE長度的表達式；
（2）利用函數的性質進行解答即可．
解答： 解：如圖，
設AC=x，則BC=2﹣x，
∵△ACD和△BCE分別是等腰直角三角形，
∴∠DCA=45°，∠ECB=45°，DC= x，CE= （2﹣x），
∴∠DCE=90°，
故DE2=DC2+CE2= x2+ （2﹣x）2=x2﹣2x+2=（x﹣ 1）2+1，
∴y= ．
（2）y=
當x=1時，DE取得最小值，DE也取得最小值，最小值為1．
點評： 此題考查了二次函數最值及等腰直角三角形，難度不大，關鍵是表示出DC、CE，得出DE的表達式，還要求我們掌握配方法求二次函數最值．
22．如圖，一位籃球運動員在離籃圈水平距離4m處跳起投籃，球沿一條拋物線運行，當球運行的水平距離為2.5m時，達到高度3.5m，然后準確落入籃框內．已知籃圈中心離地面高度為3.05m．
（1）建立圖中所示的直角坐標系，求拋物線所對應的函數關系式；
（2）若該運動員身高1.8m，這次跳投時，球在他頭頂上方0.25m處出手．問：球出手時，他跳離地面多高？
考點： 二次函數的應用．
分析： （1）設拋物線的表達式為y=ax2+3.5，依題意可知圖象經過的坐標，由此可得a的值．
（2）設球出手時，他跳離地面的高度為hm，則可得h+ 2.05=﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5．
解答： 解：（1）∵拋物線的頂點坐標為（0，3.5），
∴可設拋物線的函數關系式為y=ax2+3.5．
∵藍球中心（1.5，3.05）在拋物線上，將它的坐標代入上式，得 3.05=a×1.52+3.5，
∴a=﹣ ，
∴y=﹣ x2+3.5．
（2）設球出手時，他跳離地面的高度為hm，
因為（1）中求得y=﹣0.2x2+3.5，
則球出手時，球的高度為h+1.8+0.25=（h+2.05）m，
∴h+2.05=﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5，
∴h=0.2（m）．
答：球出手時，他跳離地面的高度為0.2m．
點評： 本題考查了函數類綜合應用題，對函數定義、性質，以及在實際問題中的應用等技能進行了全面考查，對學生的數學思維具有很大的挑戰(zhàn)性．
23．如圖所示，矩形ABCD的邊AB=3，AD=2，將此矩形置入直角坐標系中，使AB在x軸上，點C在直線y=x﹣2上．
（1）求矩形各頂點坐標；
（2）若直線y=x﹣2與y軸交于點E，拋物線過E、A、B三點，求拋物線的關系式；
（3）判斷上述拋物線的頂點是否落在矩形ABCD內部，并說明理由．
考點： 二次函數綜合題．
專題： 綜合題．
分析： （1）由于AD=2，即C點的縱坐標為2，將其代入已知的直線解析式中，即可求得C點的橫坐標，進而由AB的長，求得A、D的橫坐標，由此可確定矩形的四頂點的坐標．
（2）根據直線y=x﹣2可求得E點的坐標，進而可利用待定系數法求出該拋物線的解析式．
（3）根據（2）所得拋物線的解析式，即可由配方法或公式法求得其頂點坐標，進而根據矩形的四頂點坐標，來判斷此頂點是否在矩形的內部．
解答： 解：（1）如答圖所示 ．
∵y=x﹣2，AD=BC=2，設C點坐標為（m，2），
把C（m，2）代入y=x﹣2，
即2=m﹣2，
∴m=4，
∴C（4，2），
∴OB=4，AB=3，
∴OA=4﹣3=1，
∴A（1，0），B（4，0），C（4，2），D（1，2）．
（2）∵y=x﹣2，
∴令x=0，得y=﹣2，
∴E（0，﹣2）．
設經過E（0，﹣2），A（1，0），B（4，0）三點的拋物線關系式為y=ax2+bx+c，
∴ ，
解得 ；
∴y= ．
（3）拋物線頂點在矩形ABCD內部．
∵y= ，
∴頂點為 ，
∵ ，
∴頂點 在矩形ABCD內部．
點評： 此題主要考查了函數圖象上點的坐標意義、矩形的性質、二次函數解析式的確定等知識，難度不大，細心求解即可．
