一.仔細選一選(本題有10個小題,每小題3分,共30分) 每小題給出的四個選項中,只有一個是正確的,注意可以用多種不同的方法來選取正確答案.
1.二次函數(shù)y=3x2的圖象向左平移一個單位后函數(shù)解析式為( )
A. y=3x2+1 B. y=3x2﹣1 C. y=3(x﹣1)2 D. y=3(x+1)2
考點: 二次函數(shù)圖象與幾何變換.
分析: 直接利用二次函數(shù)平移規(guī)律,左加右減進而得出答案.
解答: 解:∵二次函數(shù)y=3x2的圖象向左平移一個單位,
∴平移后函數(shù)解析式為:y=3(x+1)2.
故選:D.
點評: 此題主要考查了二次函數(shù)平移變換,正確把握平移規(guī)律是解題關(guān)鍵.
2.如圖是畫家達芬奇的名畫《蒙娜麗莎》.畫中的臉部被包在矩形ABCD內(nèi),點E是AB的黃金分割點,BE>AE,若AB=2a,則BE長為( 。
A. ( +1)a B. ( ﹣1)a C. (3﹣ )a D. ( ﹣2)a
考點: 黃金分割.
專題: 計算題.
分析: 直接根據(jù)黃金分割的定義求解.
解答: 解:∵點E是AB的黃金分割點,BE>AE,
∴BE= AB= •2a=( ﹣1)a.
故選B.
點評: 本題考查了黃金分割:把線段AB分成兩條線段AC和BC(AC>BC),且使AC是AB和BC的比例中項(即AB:AC=AC:BC),叫做把線段AB黃金分割,點C叫做線段AB的黃金分割點.其中AC= AB≈0.618AB,并且線段AB的黃金分割點有兩個.
3.一個幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖完全相同,它一定是( )
A. 圓柱 B. 圓錐 C. 球體 D. 長方體
考點: 簡單幾何體的三視圖.
專題: 應(yīng)用題.
分析: 主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看,所得到的圖形.
解答: 解:A、圓柱的主視圖、左視圖都是長方形,俯視圖是圓形;故本選項錯誤;
B、圓錐的主視圖、左視圖都是三角形,俯視圖是圓形;故本選項錯誤;
C、球體的主視圖、左視圖、俯視圖都是圓形;故本選項正確;
D、長方體的主視圖為長方形、左視圖為長方形或正方形、俯視圖為長方形或正方形;故本選項錯誤;
故選C.
點評: 本題考查了簡單幾何體的三視圖,鍛煉了學(xué)生的空間想象能力.
4.△ABC中,∠C=Rt∠,AC=3,BC=4,以點C為圓心,CA為半徑的圓與AB、BC分別交于點E、D,則AE的長為( )
A. B. C. D.
考點: 垂徑定理;勾股定理.
分析: 在Rt△ABC中,由勾股定理可直接求得AB的長;過C作CM⊥AB,交AB于點M,由垂徑定理可得M為AE的中點,在Rt△ACM中,根據(jù)勾股定理得AM的長,從而得到AE的長.
解答: 解:在Rt△ABC中,
∵AC=3,BC=4,
∴AB= =5.
過C作CM⊥AB,交AB于點M,如圖所示,
由垂徑定理可得M為AE的中點,
∵S△ABC= AC•BC= AB•CM,且AC=3,BC=4,AB=5,
∴CM= ,
在Rt△ACM中,根據(jù)勾股定理得:AC2=AM2+CM2,即9=AM2+( )2,
解得:AM= ,
∴AE=2AM= .
故選C.
點評: 本題考查的是垂徑定理,根據(jù)題意作出輔 助線,構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.
5.如圖所示,△ABC的頂點是正方形網(wǎng)格的格點,則sinA的值為( 。
A. B. C. D.
考點: 銳角三角函數(shù)的定義;勾股定理.
專題: 網(wǎng)格型.
分析: 利用網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形,根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義解答.
解答: 解:如圖:在B點正上方找一點D,使BD=BC,連接CD交AB于O,
根據(jù)網(wǎng)格的特點,CD⊥AB,
在Rt△AOC中,
CO= = ;
AC= = ;
則sinA= = = .
故選:B.
點評: 本題考查了銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理,作出輔助線CD并利用網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.
6.如圖,為了估算河的寬度,小明采用的辦法是:在河的對岸選取一點A,在近岸取點D,B,使得A,D,B在一條直線上,且與河的邊沿垂直,測得BD=10m,然后又在垂直AB的直線上取點C,并量得BC=30m.如果DE=20m,則河寬AD為( 。
A. 20m B. m C. 10m D. 30m
考點: 相似三角形的應(yīng)用.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán) 所有
分析: 求出△ADE和△ABC相似,然后根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求解即可.
解答: 解:∵AB⊥DE,BC⊥AB,
∴△ADE∽△ABC,
∴ = ,
即 = ,
解得AD=20.
故選A.
點評: 本題考查了相似三角形的應(yīng)用,利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列出比例式是解題的關(guān)鍵.
7.已知k,n均為 非負實數(shù),且2k+n=2,則代數(shù)式2k2﹣4n的最小值為( 。
A. ﹣40 B. ﹣16 C. ﹣8 D. 0
考點: 二次函數(shù)的最值.
分析: 先根據(jù)題意得出n=2﹣2k,由k,n均為非負實數(shù)求出k的取值范圍,再代入代數(shù)式2k2﹣4n求出其最小值即可.
解答: 解:∵k,n均為非負實數(shù),2k+n=2,
∴n=2﹣2k,
∴2﹣2k≥0,
∴0≤k≤1.
∴2k2﹣4n=2k2﹣4(2﹣2k)=2(k+2)2﹣16
∴當k=0時,代數(shù)式有最小值,
∴代數(shù) 式2k2﹣4n的最小值為﹣8.
故選C.
點評: 本題考查的是二次函數(shù)的最值,根據(jù)題意把原式化為二次函數(shù)的形式是解答此題的關(guān)鍵.
8.如圖,PA、PB分別切⊙O于A、B兩點,射線PD與⊙O相交于C,D兩點,點E是CD中點,若∠APB=40°,則∠AEP的度數(shù)是( )
A. 40° B. 50° C. 60° D. 70°
考點: 切線的性質(zhì).
分析: 連接OP,OA,OE,先根據(jù)垂徑定理求得∠PEO=90°,然后根據(jù)切線的性質(zhì)求得,∠APO=∠BPQ= ∠APB=20°∠PAO=90°,即可進一步證得A、O、E、P四點共圓,根據(jù)圓周角的性質(zhì)即可求得.
解答: 解:連接OP,OA,OE,
∵點E是CD中點,
∴OE⊥DC,
∴∠PEO=90°,
∵PA、PB分別切⊙O于A、B兩點,
∴OA⊥PA,∠APO=∠BPQ= ∠APB=20°
∴∠PAO=90°,
∴∠POA=70°,
∴A、O、E、P四點在以O(shè)P為直徑的圓上,
∴∠AEP=∠AOP=70°,
故選D.
點評: 本題考查了切線的性質(zhì),垂徑定理,四點共圓的判定以及圓周角定理,作出輔助線構(gòu)建直角三角形以及證得A、O、E、P四點共圓本題是關(guān)鍵.
9.如圖在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,AB=2,D是AB邊上的一個動點(不與點A、B重合),過點D作CD的垂線交射線CA于點E.設(shè)AD=x,CE=y,則下列圖象中,能表示y與x的函數(shù)關(guān)系圖象大致是( 。
A. B. C. D.
考點: 動點問題的函數(shù)圖象.
專題: 壓軸題;數(shù)形結(jié)合.
分析: 本題需先根據(jù)題意,求出BC,AC的長,再分別計算出當x=0和x=2時,y的值,即可求得y與x的函數(shù)圖象.
解答: 解:解法一、∵∠ACB=90°,∠BAC=30°,AB=2,
∴BC=1,AC= ,
∴當x=0時,y的值是 ,
當x=1時,y的值是 ,
∵當x=2時CD的垂線與CA平行,雖然x不能取到2,但y應(yīng)該是無窮大,
∴y與x的函數(shù)關(guān)系圖象大致是B,
過點D作點DG⊥AC于點G,過點D作點DF⊥BC于點F,
∴CF=DG= ,DF=CG= (2﹣x),
∴EG=y﹣CG,
分別在直角三角形CDF、直角三角形DGE、直角三角形CDE中利用勾股定理,
DF2+CF2+DG2+GE2=CE2,
y= .
解法二、∵∠ACB=90°,∠BAC=30°,AB=2,
∴BC=1,AC= .
∴當x=0時,y= ;
當x=1時,y=
∵當x=2時,CD的垂線與CA平行,雖然x不能取到2,但y應(yīng)該是無窮大,
∴y與x的函數(shù)關(guān)系圖象大致是B選項.
故選:B.
點評: 本題主要考查了動點問題的函數(shù)圖象.在解題時要能根據(jù)題意得出函數(shù)關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵.
10.二次函數(shù)y=(x﹣ )(mx﹣4m)(其中m>0),下列說法正確的( )
A. 當x>2時,都有y隨著x的增大而增大
B. 當x<3時,都有y隨著x的增大而減小
C. 若當x<n時,都有y隨著x的增大而減小,則n≤2+
D. 若當x<n時,都有y隨著x的增大而減小,則n≥
考點: 二次函數(shù)的性質(zhì).
分析: 先求出二次函數(shù)的對稱軸,再利用此函數(shù)圖象開口向上,即可判定函數(shù)增減性質(zhì).
解答: 解:y=(x﹣ )(mx﹣4m)=mx2﹣4mx﹣x+4=m(x﹣ )2+4﹣ (其中m>0),
∴二次函數(shù)的對稱軸為x=2+ ,
∵m>0,
∴此函數(shù)圖象開口向上,
∴當n≤2+ 時,y隨著x的增大而減小,
故選:C.
點評: 本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是求出二次函數(shù)的對稱軸.
二.認真填一填(本題有6個小題,每 小題4分,共24分)要注意認真看清楚題目的條件和要填寫的內(nèi)容,盡量完整地填寫答案.
11.從1,2,3,4中任取兩個不同的數(shù),其乘積大于4的概率是 。
考點: 列表法與樹狀圖法.
分析: 首先根據(jù)題意畫出樹狀圖,然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與其乘積大于4的情況,再利用概率公式即可求得答案.
解答: 解:畫樹狀圖得:
∵共有12種等可能的結(jié)果,任取兩個不同的數(shù),其乘積大于4的有6種情況,
∴從1、2、3、4中任取兩個不同的數(shù),其乘積大于4的概率是: = .
故答案為: .
點評: 本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率.列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果,列表法適合于兩步完成的事件,樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件.用到的知識點為:概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.
12.如圖,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,點D在AB上,CD=5,AC=8,sin∠ACD= ,則BC= 6 .
考點: 解直角三角形.
專題: 計算題.
分析: 作DH⊥AC于H,如圖在Rt△CDH中根據(jù)正弦的定義可計算出DH=3,再根據(jù)勾股定理計算出CH=4,則AH=AC﹣CH=4,于是可判斷DH為△ABC的中位線,然后根據(jù)三角形中位線性質(zhì)即可得到BC的長.
解答: 解:作DH⊥AC于H,如圖,
在Rt△CDH中,∵sin∠HCD= = ,
∴DH= ×5=3,
∴CH= =4,
∴AH=AC﹣CH=8﹣4=4,
∴CH=AH,
∴DH為△ABC的中位線,
∴BC=2DH=6.
故答案為6.
點評: 本題考查了解直角三角形:在直角三角形中,由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形.
13.如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2 ,若把Rt△ABC繞邊AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周,則所得幾何體的表面積為 8 π。ńY(jié)果保留π).
考點: 圓錐的計算;點、線、面、體.
分析: 首先求得高CD的長,然后根據(jù)圓錐的側(cè)面積的計算方法,即可求解.
解答: 解:過點C作CD⊥AB于點D,
Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,
∴AB= AC=4,
∴CD=2,
以CD為半徑的圓的周長是:4π.
故直線旋轉(zhuǎn)一周則所得的幾何體得表面積是:2× ×4π×2 =8 π.
故答案為:8 π.
點評: 此題主要考查了圓錐的有關(guān)計算,正確確定旋轉(zhuǎn)后的圖形得出以CD為半 徑的圓的弧長是解題的關(guān)鍵.
14.如圖,在△ABC中,AC=4,AB=6,BC=8,點D在BC邊上,且CD=2,則AD的長為 3。
考點: 相似三角形的判定與性質(zhì).
分析: 首先在△ABC和△DAC中根據(jù)題干條件得到 ,結(jié)合∠ACB=∠DCA,證明出△ABC∽△DAC,進而得到AD的長.
解答: 解:在△ABC和△DAC,
∵AC=4,BC=8,CD=2,
∴ ,
∵∠ACB=∠DCA,
∴△ABC∽△DAC,
∴ ,
∵AB=6,
∴AD=3,
故答案為3.
點評: 本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)的知識,解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)題干條件證明出△ABC∽△DA C,此題難度不大.
15.在平面直角坐標系中,以原點O為圓心的圓過點A(0,3 ),直線y=kx﹣3k+4(k≠0)與⊙O交于B,C兩點,則弦BC的長的最小值為 4 。
考點: 垂徑定理;坐標與圖形性質(zhì);勾股定理.
分析: 連接OB,過點O作OD⊥BC于點D,根據(jù)直線y=kx﹣3k+4點D(3,4),求出最短的弦CB是過點D且與該圓直徑垂直的弦,再求出OD的長,再根據(jù)以原點O為圓心的圓過點A(0,3 ),求出OB的長,再利用勾股定理求出BD,即可得出答案.
解答: 解:連接OB,過點O作OD⊥BC于點D,
∵直線y=kx﹣3k+4點D(3,4),
∴最短的弦CB是過點D且與該圓直徑垂直的弦,
∵點D的坐標是(3,4),
∴OD=5,
∵以原點O為圓心的圓過點A(0,3 ),
∴圓的半徑為3 ,
∴OB=3 ,
∴BD= =2 ,
∴BC的長的最小值為4 ;
故答案為:4 .
點評: 本題考查的是垂徑定理,根據(jù)題意作出輔助線,構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.
16.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10,BC=30,動點P從點B開始沿邊BC向點C以每秒2個單位長度的速度運動,動點Q從點C開始沿邊CA向點A以每秒1個單位長度的速度運動,連接PQ,點P、Q分別從點B、C同時出發(fā),當其中一點到達端點時,另一點也隨之停止運動,設(shè)運動時間為t秒(t≥0).
(1)當t= 6 秒時,點P、C、Q所構(gòu)成的三角形與Rt△ABC相似.
(2)在整個運動過程中,線段PQ的中點所經(jīng)過的路程長為 5 。
考點: 相似三角形的判定與性質(zhì).
專題: 動點型.
分析: (1)由∠C=∠C,分兩種情況討論:①PC:BC=QC:AC,求出t=6;②PC:AC=QC:BC,求出t= >10,不合題意舍去;因此t=6;
(2)線段PQ的中點所經(jīng)過的路程為一個三角形的中位線長.
解答: 解:(1)分兩種情況討論:
①∵∠C=∠C,當 時,△QPC∽△ABC,
∵BP=2t,QC=t,
∴PC=30﹣2t,
∴ ,
解得t=6;
②∵∠C=∠C,當 時,△PQC∽△ABC,
,解得t= >10,不合題意;
綜上所述:當t=6時,點P、C、Q構(gòu)成的三角形與Rt△ABC相似;
(2)線段PQ的中點所經(jīng)過的路程是線段MN的長,如圖所示:
當P在B處,Q在C處時,PQ的中點為BC的中點,當點Q運動10秒時,P、Q停止運動,
PQ的中點為N,P到達D,Q到達A,
過點A作AE∥MN交BC于點E,
此時CD=30﹣2×10=10,
∴MD=15﹣10=5,
∵N是AD的中點,
∴M時DE的中點,
∴EM=DM=5,MN= AE,
∴CE=10+5+5=20,
∴AE= ,
∴MN=5 ;
即線段PQ的中點所經(jīng)過的路程長為5 .
點評: 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理以及三角形中位線的綜合運用;要注意的是(1)中,根據(jù)P、Q的不同位置分類討論.
三.全面答一答(本題有7個小題,共66 分)解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或推理步驟.如果覺得有的題目有點困難,那么把自己能寫出的解答寫出一部分也可以.
17.下列關(guān)系式是否成立(0<α<90°),請說明理由.
(1)sinα+cosα≤1;
(2)sin2α=2sinα.
考點: 同角三角函數(shù)的關(guān)系.
分析: (1)利用三角函數(shù)的定義和三角 形的三邊關(guān)系得到該結(jié)論不成立;
(2)舉出反例進行論證.
解答: 解:(1)該不等式不成立,理由如下:
如圖,在△ABC中,∠B=90°,∠C=α.
則sinα+cosα= + = >1,故sinα+cosα≤1不成立;
(2)該等式不成立,理由如下:
假設(shè)α=30°,則sin2α=sin60°= ,2sinα=2sin30°=2× =1,
∵ ≠1,
∴sin2α≠2sinα,即sin2α=2sinα不成立.
點評: 本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系.解題的關(guān)鍵是掌握銳角三角函數(shù)的定義和特殊角的三角函數(shù)值.
18.如圖,已知A、B、C分別是⊙O上的點,∠B=60°,P是直徑CD的延長線上的一點,且AP=AC.
(1)求證:AP與⊙O相切;
(2)如果PD= ,求AP的長.
考點: 切線的判定.
分析: (1)利用圓周角定理以及等腰三角形的性質(zhì)得出∠E=∠ACE=∠OCA=∠OAC=30°,∠EAC=120°,進而得出∠EAO=90°,即可得出答案;
(2)首先根據(jù)直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求得半徑,從而求得OA、OP,進而利用勾股定理得出AP的長.
解答: (1)證明:連接AO,
∵∠B=60°,
∴∠AOC=120°,
∵AO=CO,AP=AC,
∴∠P=∠ACP,∠OCA=∠OAC=30°,
∴∠P=∠ACP=∠OCA=∠OAC=30°,
∴∠PAC=120°,
∴∠PAO=90°,
∴AP是⊙O的切線;
(2)解:設(shè)⊙O的半徑為R,則OA=OD=R,OP= +R,
∵∠PAO=90°,∠P=30°,
∴OP=2OA,即 +R=2R,
解得R= ,
∴OA= ,OP=2 ,
∴OA=
根據(jù)勾股定理得,AP= = =3.
點評: 此題主要考查了圓周角定理以及勾股定理定理和切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)等知識,根據(jù)已知得出圓的半徑是解題關(guān)鍵.
19.甲口袋中裝有兩個相同的小球,它們的標號分別為2和7,乙口袋中裝有兩個相同的小球,它們的標號分別為4和5,丙口袋中裝有三個相同的小球,它們的標號分別為3,8,9.從這3個口袋中各隨機地取出1個小球.
(1)求取出的3個小球的標號全是奇數(shù)的概率是多少?
(2)以取出的三個小球的標號分別表示三條線段的長度,求這些線段能構(gòu)成三角形的概率.
考點: 列表法與樹狀圖法;三角形三邊關(guān)系.
分析: (1)因為此題需要三步完成,所以采用樹狀圖法最簡單,所以先畫樹狀圖,然后根據(jù)樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與取出的3個小球的標號全是奇數(shù)的情況,然后利用概率公式即可求得答案;
(2)根據(jù)(1)中的樹狀圖求得這些線段能構(gòu)成三角形的情況,再根據(jù)概率公式求解即可.
解答: 解:(1)畫樹狀圖得:
∴一共有12種等可能的結(jié)果,
取出的3個小球的標號全是奇數(shù)的有2種情況,
∴取出的3個小球的標號全是奇數(shù)的概率是: = .
(2)∵這些線段能構(gòu)成三角形的有2、4、3,7、4、8,7、4、9,7、5、3,7、5、8,7、5、9共6種情況,
∴這些線段能構(gòu)成三角形的概率為 = .
點評: 此題考查了樹狀圖法求概率.注意樹狀圖法適合于兩步及兩步以上完成的事件.用到的知識點為:概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.
20.如圖是一個底面三邊長都是3cm三棱柱,它的側(cè)面是正方形.現(xiàn)要從中挖取一個底面的圓柱.
(1)用尺規(guī)畫出挖取圓柱后的俯視圖;(按如圖位置擺放,保留作圖痕跡)
(2)求圓柱的底面半徑;
(3)求挖取圓柱后剩下部分幾何體的表面積.
考點: 作圖-三視圖.
分析: (1)挖取圓柱后的俯視圖為正三角形中間一個圓,依此畫出圖形即可求解;
(2)圓柱的底面半徑為正三角形高的 ;
(3)挖取圓柱后剩下部分幾何體的表面積=三棱柱的表面積﹣圓柱的兩個底面積+圓柱的側(cè)面積,依此列式計算即可求解.
解答: 解:(1)如圖所示:
(2)∵底面是正三角形,
∴從中挖取一個底面的圓柱的半徑是正三角形的內(nèi)接圓的半徑,
∴圓柱的底面半徑:3× × = (cm).
答:圓柱的底面半徑為 cm;
(3)3× = (cm)
3× ×3+3× ÷2×2﹣π×( )2×2+2π× ×
= + ﹣ π+ π
= +3π(cm2).
答:挖取圓柱后剩下部分幾何體的表面積是( +3π)cm2.
點評: 考查了作圖﹣三視圖,畫物體的三視圖的口訣為:主、俯:長對正;主、左:高平齊;俯、左:寬相等.同時考查了正三角形的性質(zhì),幾何體的面積計算.
21.如圖,已知在四邊形ABCD中,AC與BD相交于點O,AB⊥AC ,CD⊥BD.
(1)求證:△AOD∽△BOC;
(2)若cos∠ABO= ,S△BOC=18,求S△AOD的值.
考點: 相似三角形的判定與性質(zhì).
分析: (1)由AB⊥AC,CD⊥BD,可得∠BAC=∠BDC=90°,又由對頂角相等,根據(jù)有兩角對應(yīng)相等的三角形相似,易得△AOB∽△DOC,即可得到比例線段,再由∠AOD=∠BOC,即可證得△AOD∽△BOC;
(2)由cos∠ABO= ,可得 =,又由相似三角形的面積比等于相似比的平方,可求得S△BOC的值.
解答: (1)證明:∵AB⊥AC,CD⊥BD,
∴∠BAC=∠BDC=90°,
又∵∠AOB=∠DOC,
∴△AOB∽△DOC,
∴ =
∴ =
又∵∠AOD=∠BOC,
∴△AOD∽△BOC;
(2)∵∠BAC=90°,cos∠ABO= ,
∴ = , = ,
∵△AOD∽△BOC,
∴ = ,
∵S△BOC=18,
∴S△AOD=8.
點評: 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),以及三角函數(shù)的定義.解題時要注意相似三角形的面積比等于相似比的平方,有兩角對應(yīng)相等的三角形相似與有兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等三 角形相似的性質(zhì)的應(yīng)用.
22.已知二次函數(shù)y=x2﹣2bx+c的圖象與x軸只有一個交點.
(1)請寫出b、c的關(guān)系式;
(2)設(shè)直線y=7與該拋物線的交點為A、B,求AB的長;
(3)若P(a,﹣a)不在曲線y=x2﹣2bx+c上,請求出b的取值范圍.
考點: 拋物線與x軸的交點;二次函數(shù)圖象上點的坐標特征.
分析: (1)根據(jù)二次函數(shù)的圖象與x軸只有一個交點,則b2﹣4ac=0,由此可得到b、c應(yīng)滿足關(guān)系;
(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系x1+x2=2b,x1x2=c﹣7,結(jié)合b2=c,即可求得AB的長.
(3)由題意可知方程﹣x=x2﹣2bx+c沒有實數(shù)根,根據(jù)根的判別式即可求得.
解答: 解:(1)∵二次函數(shù)y=x2﹣2bx+c的圖象與x軸只有一個交點,
令y=0得:x2﹣2bx+c=0,
∵△=(﹣2b)2﹣4c=0,
∴b2=c.
(2)設(shè)A(x1,0),B(x2,0),
∵直線y=7與拋物線的交點A、B的橫坐標就是方程x2﹣2bx+c﹣7=0的兩個根x1、x2.
∴AB=|x1﹣x2|,
∵x1+x2=2b,x1x2=c﹣7,b2=c.
∴AB=|x1﹣x2|= = = = =2 .
(3)P(a,﹣a)不在曲線y=x2﹣2bx+c上,
∴直線y=﹣x與曲線y=x2﹣2bx+c沒有交點,
即方程﹣x=x2﹣2bx+c沒有實數(shù)根,
∴x2+(1﹣2b)x+c=0的△<0,
即(1﹣2b)2﹣4c<0,
整理得,1﹣4b+4b2﹣4c<0,
∵b2=c.
∴1﹣4b<0,
∴b .
點評: 本題是二次函數(shù)的綜合題型,主要考查了根的判別式,二次函數(shù)與直線的交點問題,二次函數(shù)與不等式的關(guān)系,題目的綜合性較強,難度不小,對學(xué)生的解題能力要求很高,是一道不錯的中考壓軸題.
23.如圖,在平面直角坐標系中,已知點E(﹣2,1),連結(jié)OE,△ABC的三個頂點坐標分別為A(1,4),B(1,0),C(5,0).
(1)請求出OE的長度;
(2)在△ABC的邊上找一點F,使得∠EOF=90°,求出F點的坐標;
(3)已知P是直線EO上的一個動點,以P為圓心,OE長為半徑作⊙P,當⊙P與△ABC三邊所在直線相切,求P點的坐標.(改編)
考點: 圓的綜合題.
分析: (1)根據(jù)點E的坐標為(﹣2,1),運用勾股定理直接求出OE的長度;
(2)求出直線OE的解析式,根據(jù)∠EOF=90°,求出直線OF的解析式,再求出直線OF與AB,AC的交點坐標;
(3)分別從⊙P與直線AB、BC、AC相切,求出P點的坐標.
解答: 解:(1)∵點E的坐標為(﹣2,1),
根據(jù)勾股定理得,OE= ;
(2))∵點E的坐標為(﹣2,1),
∴直線OE的解析式為y=﹣ x,
∵OE⊥OF,
∴直線OF的解析式為:y=2x,
∵A(1,4),C(5,0),
∴直線AC的解析式為:y=﹣x+5,
則y=2x與直線AB的交點坐標為(1,2),與直線AC的交點坐標為( , );
(3)設(shè)點P的坐標為(﹣2b,b)
①當⊙P與直線AB相切時,|﹣2b﹣1|= ,
b1= ,b2= ,
②當⊙P與直線BC相切時,
|b|= ,
b3= ,b4=﹣ ,
③當⊙P與直線AC相切時,
根據(jù)點到直線的距離公式, = ,
b5=﹣5+ ,b6=﹣5﹣ ,
則p1(1﹣ , ),p2( +1, ),p3(﹣2 , ),p4(2 ,﹣ ),p5(10﹣2 ,﹣5+ ),p6(10+2 ,﹣5﹣ ).
點評: 本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系,把圓與一次函數(shù)結(jié)合起來是解題的關(guān)鍵,解答時,要靈活運用數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想.
1.二次函數(shù)y=3x2的圖象向左平移一個單位后函數(shù)解析式為( )
A. y=3x2+1 B. y=3x2﹣1 C. y=3(x﹣1)2 D. y=3(x+1)2
考點: 二次函數(shù)圖象與幾何變換.
分析: 直接利用二次函數(shù)平移規(guī)律,左加右減進而得出答案.
解答: 解:∵二次函數(shù)y=3x2的圖象向左平移一個單位,
∴平移后函數(shù)解析式為:y=3(x+1)2.
故選:D.
點評: 此題主要考查了二次函數(shù)平移變換,正確把握平移規(guī)律是解題關(guān)鍵.
2.如圖是畫家達芬奇的名畫《蒙娜麗莎》.畫中的臉部被包在矩形ABCD內(nèi),點E是AB的黃金分割點,BE>AE,若AB=2a,則BE長為( 。
A. ( +1)a B. ( ﹣1)a C. (3﹣ )a D. ( ﹣2)a
考點: 黃金分割.
專題: 計算題.
分析: 直接根據(jù)黃金分割的定義求解.
解答: 解:∵點E是AB的黃金分割點,BE>AE,
∴BE= AB= •2a=( ﹣1)a.
故選B.
點評: 本題考查了黃金分割:把線段AB分成兩條線段AC和BC(AC>BC),且使AC是AB和BC的比例中項(即AB:AC=AC:BC),叫做把線段AB黃金分割,點C叫做線段AB的黃金分割點.其中AC= AB≈0.618AB,并且線段AB的黃金分割點有兩個.
3.一個幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖完全相同,它一定是( )
A. 圓柱 B. 圓錐 C. 球體 D. 長方體
考點: 簡單幾何體的三視圖.
專題: 應(yīng)用題.
分析: 主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看,所得到的圖形.
解答: 解:A、圓柱的主視圖、左視圖都是長方形,俯視圖是圓形;故本選項錯誤;
B、圓錐的主視圖、左視圖都是三角形,俯視圖是圓形;故本選項錯誤;
C、球體的主視圖、左視圖、俯視圖都是圓形;故本選項正確;
D、長方體的主視圖為長方形、左視圖為長方形或正方形、俯視圖為長方形或正方形;故本選項錯誤;
故選C.
點評: 本題考查了簡單幾何體的三視圖,鍛煉了學(xué)生的空間想象能力.
4.△ABC中,∠C=Rt∠,AC=3,BC=4,以點C為圓心,CA為半徑的圓與AB、BC分別交于點E、D,則AE的長為( )
A. B. C. D.
考點: 垂徑定理;勾股定理.
分析: 在Rt△ABC中,由勾股定理可直接求得AB的長;過C作CM⊥AB,交AB于點M,由垂徑定理可得M為AE的中點,在Rt△ACM中,根據(jù)勾股定理得AM的長,從而得到AE的長.
解答: 解:在Rt△ABC中,
∵AC=3,BC=4,
∴AB= =5.
過C作CM⊥AB,交AB于點M,如圖所示,
由垂徑定理可得M為AE的中點,
∵S△ABC= AC•BC= AB•CM,且AC=3,BC=4,AB=5,
∴CM= ,
在Rt△ACM中,根據(jù)勾股定理得:AC2=AM2+CM2,即9=AM2+( )2,
解得:AM= ,
∴AE=2AM= .
故選C.
點評: 本題考查的是垂徑定理,根據(jù)題意作出輔 助線,構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.
5.如圖所示,△ABC的頂點是正方形網(wǎng)格的格點,則sinA的值為( 。
A. B. C. D.
考點: 銳角三角函數(shù)的定義;勾股定理.
專題: 網(wǎng)格型.
分析: 利用網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形,根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義解答.
解答: 解:如圖:在B點正上方找一點D,使BD=BC,連接CD交AB于O,
根據(jù)網(wǎng)格的特點,CD⊥AB,
在Rt△AOC中,
CO= = ;
AC= = ;
則sinA= = = .
故選:B.
點評: 本題考查了銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理,作出輔助線CD并利用網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.
6.如圖,為了估算河的寬度,小明采用的辦法是:在河的對岸選取一點A,在近岸取點D,B,使得A,D,B在一條直線上,且與河的邊沿垂直,測得BD=10m,然后又在垂直AB的直線上取點C,并量得BC=30m.如果DE=20m,則河寬AD為( 。
A. 20m B. m C. 10m D. 30m
考點: 相似三角形的應(yīng)用.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán) 所有
分析: 求出△ADE和△ABC相似,然后根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求解即可.
解答: 解:∵AB⊥DE,BC⊥AB,
∴△ADE∽△ABC,
∴ = ,
即 = ,
解得AD=20.
故選A.
點評: 本題考查了相似三角形的應(yīng)用,利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列出比例式是解題的關(guān)鍵.
7.已知k,n均為 非負實數(shù),且2k+n=2,則代數(shù)式2k2﹣4n的最小值為( 。
A. ﹣40 B. ﹣16 C. ﹣8 D. 0
考點: 二次函數(shù)的最值.
分析: 先根據(jù)題意得出n=2﹣2k,由k,n均為非負實數(shù)求出k的取值范圍,再代入代數(shù)式2k2﹣4n求出其最小值即可.
解答: 解:∵k,n均為非負實數(shù),2k+n=2,
∴n=2﹣2k,
∴2﹣2k≥0,
∴0≤k≤1.
∴2k2﹣4n=2k2﹣4(2﹣2k)=2(k+2)2﹣16
∴當k=0時,代數(shù)式有最小值,
∴代數(shù) 式2k2﹣4n的最小值為﹣8.
故選C.
點評: 本題考查的是二次函數(shù)的最值,根據(jù)題意把原式化為二次函數(shù)的形式是解答此題的關(guān)鍵.
8.如圖,PA、PB分別切⊙O于A、B兩點,射線PD與⊙O相交于C,D兩點,點E是CD中點,若∠APB=40°,則∠AEP的度數(shù)是( )
A. 40° B. 50° C. 60° D. 70°
考點: 切線的性質(zhì).
分析: 連接OP,OA,OE,先根據(jù)垂徑定理求得∠PEO=90°,然后根據(jù)切線的性質(zhì)求得,∠APO=∠BPQ= ∠APB=20°∠PAO=90°,即可進一步證得A、O、E、P四點共圓,根據(jù)圓周角的性質(zhì)即可求得.
解答: 解:連接OP,OA,OE,
∵點E是CD中點,
∴OE⊥DC,
∴∠PEO=90°,
∵PA、PB分別切⊙O于A、B兩點,
∴OA⊥PA,∠APO=∠BPQ= ∠APB=20°
∴∠PAO=90°,
∴∠POA=70°,
∴A、O、E、P四點在以O(shè)P為直徑的圓上,
∴∠AEP=∠AOP=70°,
故選D.
點評: 本題考查了切線的性質(zhì),垂徑定理,四點共圓的判定以及圓周角定理,作出輔助線構(gòu)建直角三角形以及證得A、O、E、P四點共圓本題是關(guān)鍵.
9.如圖在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,AB=2,D是AB邊上的一個動點(不與點A、B重合),過點D作CD的垂線交射線CA于點E.設(shè)AD=x,CE=y,則下列圖象中,能表示y與x的函數(shù)關(guān)系圖象大致是( 。
A. B. C. D.
考點: 動點問題的函數(shù)圖象.
專題: 壓軸題;數(shù)形結(jié)合.
分析: 本題需先根據(jù)題意,求出BC,AC的長,再分別計算出當x=0和x=2時,y的值,即可求得y與x的函數(shù)圖象.
解答: 解:解法一、∵∠ACB=90°,∠BAC=30°,AB=2,
∴BC=1,AC= ,
∴當x=0時,y的值是 ,
當x=1時,y的值是 ,
∵當x=2時CD的垂線與CA平行,雖然x不能取到2,但y應(yīng)該是無窮大,
∴y與x的函數(shù)關(guān)系圖象大致是B,
過點D作點DG⊥AC于點G,過點D作點DF⊥BC于點F,
∴CF=DG= ,DF=CG= (2﹣x),
∴EG=y﹣CG,
分別在直角三角形CDF、直角三角形DGE、直角三角形CDE中利用勾股定理,
DF2+CF2+DG2+GE2=CE2,
y= .
解法二、∵∠ACB=90°,∠BAC=30°,AB=2,
∴BC=1,AC= .
∴當x=0時,y= ;
當x=1時,y=
∵當x=2時,CD的垂線與CA平行,雖然x不能取到2,但y應(yīng)該是無窮大,
∴y與x的函數(shù)關(guān)系圖象大致是B選項.
故選:B.
點評: 本題主要考查了動點問題的函數(shù)圖象.在解題時要能根據(jù)題意得出函數(shù)關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵.
10.二次函數(shù)y=(x﹣ )(mx﹣4m)(其中m>0),下列說法正確的( )
A. 當x>2時,都有y隨著x的增大而增大
B. 當x<3時,都有y隨著x的增大而減小
C. 若當x<n時,都有y隨著x的增大而減小,則n≤2+
D. 若當x<n時,都有y隨著x的增大而減小,則n≥
考點: 二次函數(shù)的性質(zhì).
分析: 先求出二次函數(shù)的對稱軸,再利用此函數(shù)圖象開口向上,即可判定函數(shù)增減性質(zhì).
解答: 解:y=(x﹣ )(mx﹣4m)=mx2﹣4mx﹣x+4=m(x﹣ )2+4﹣ (其中m>0),
∴二次函數(shù)的對稱軸為x=2+ ,
∵m>0,
∴此函數(shù)圖象開口向上,
∴當n≤2+ 時,y隨著x的增大而減小,
故選:C.
點評: 本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是求出二次函數(shù)的對稱軸.
二.認真填一填(本題有6個小題,每 小題4分,共24分)要注意認真看清楚題目的條件和要填寫的內(nèi)容,盡量完整地填寫答案.
11.從1,2,3,4中任取兩個不同的數(shù),其乘積大于4的概率是 。
考點: 列表法與樹狀圖法.
分析: 首先根據(jù)題意畫出樹狀圖,然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與其乘積大于4的情況,再利用概率公式即可求得答案.
解答: 解:畫樹狀圖得:
∵共有12種等可能的結(jié)果,任取兩個不同的數(shù),其乘積大于4的有6種情況,
∴從1、2、3、4中任取兩個不同的數(shù),其乘積大于4的概率是: = .
故答案為: .
點評: 本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率.列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果,列表法適合于兩步完成的事件,樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件.用到的知識點為:概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.
12.如圖,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,點D在AB上,CD=5,AC=8,sin∠ACD= ,則BC= 6 .
考點: 解直角三角形.
專題: 計算題.
分析: 作DH⊥AC于H,如圖在Rt△CDH中根據(jù)正弦的定義可計算出DH=3,再根據(jù)勾股定理計算出CH=4,則AH=AC﹣CH=4,于是可判斷DH為△ABC的中位線,然后根據(jù)三角形中位線性質(zhì)即可得到BC的長.
解答: 解:作DH⊥AC于H,如圖,
在Rt△CDH中,∵sin∠HCD= = ,
∴DH= ×5=3,
∴CH= =4,
∴AH=AC﹣CH=8﹣4=4,
∴CH=AH,
∴DH為△ABC的中位線,
∴BC=2DH=6.
故答案為6.
點評: 本題考查了解直角三角形:在直角三角形中,由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形.
13.如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2 ,若把Rt△ABC繞邊AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周,則所得幾何體的表面積為 8 π。ńY(jié)果保留π).
考點: 圓錐的計算;點、線、面、體.
分析: 首先求得高CD的長,然后根據(jù)圓錐的側(cè)面積的計算方法,即可求解.
解答: 解:過點C作CD⊥AB于點D,
Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,
∴AB= AC=4,
∴CD=2,
以CD為半徑的圓的周長是:4π.
故直線旋轉(zhuǎn)一周則所得的幾何體得表面積是:2× ×4π×2 =8 π.
故答案為:8 π.
點評: 此題主要考查了圓錐的有關(guān)計算,正確確定旋轉(zhuǎn)后的圖形得出以CD為半 徑的圓的弧長是解題的關(guān)鍵.
14.如圖,在△ABC中,AC=4,AB=6,BC=8,點D在BC邊上,且CD=2,則AD的長為 3。
考點: 相似三角形的判定與性質(zhì).
分析: 首先在△ABC和△DAC中根據(jù)題干條件得到 ,結(jié)合∠ACB=∠DCA,證明出△ABC∽△DAC,進而得到AD的長.
解答: 解:在△ABC和△DAC,
∵AC=4,BC=8,CD=2,
∴ ,
∵∠ACB=∠DCA,
∴△ABC∽△DAC,
∴ ,
∵AB=6,
∴AD=3,
故答案為3.
點評: 本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)的知識,解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)題干條件證明出△ABC∽△DA C,此題難度不大.
15.在平面直角坐標系中,以原點O為圓心的圓過點A(0,3 ),直線y=kx﹣3k+4(k≠0)與⊙O交于B,C兩點,則弦BC的長的最小值為 4 。
考點: 垂徑定理;坐標與圖形性質(zhì);勾股定理.
分析: 連接OB,過點O作OD⊥BC于點D,根據(jù)直線y=kx﹣3k+4點D(3,4),求出最短的弦CB是過點D且與該圓直徑垂直的弦,再求出OD的長,再根據(jù)以原點O為圓心的圓過點A(0,3 ),求出OB的長,再利用勾股定理求出BD,即可得出答案.
解答: 解:連接OB,過點O作OD⊥BC于點D,
∵直線y=kx﹣3k+4點D(3,4),
∴最短的弦CB是過點D且與該圓直徑垂直的弦,
∵點D的坐標是(3,4),
∴OD=5,
∵以原點O為圓心的圓過點A(0,3 ),
∴圓的半徑為3 ,
∴OB=3 ,
∴BD= =2 ,
∴BC的長的最小值為4 ;
故答案為:4 .
點評: 本題考查的是垂徑定理,根據(jù)題意作出輔助線,構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.
16.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10,BC=30,動點P從點B開始沿邊BC向點C以每秒2個單位長度的速度運動,動點Q從點C開始沿邊CA向點A以每秒1個單位長度的速度運動,連接PQ,點P、Q分別從點B、C同時出發(fā),當其中一點到達端點時,另一點也隨之停止運動,設(shè)運動時間為t秒(t≥0).
(1)當t= 6 秒時,點P、C、Q所構(gòu)成的三角形與Rt△ABC相似.
(2)在整個運動過程中,線段PQ的中點所經(jīng)過的路程長為 5 。
考點: 相似三角形的判定與性質(zhì).
專題: 動點型.
分析: (1)由∠C=∠C,分兩種情況討論:①PC:BC=QC:AC,求出t=6;②PC:AC=QC:BC,求出t= >10,不合題意舍去;因此t=6;
(2)線段PQ的中點所經(jīng)過的路程為一個三角形的中位線長.
解答: 解:(1)分兩種情況討論:
①∵∠C=∠C,當 時,△QPC∽△ABC,
∵BP=2t,QC=t,
∴PC=30﹣2t,
∴ ,
解得t=6;
②∵∠C=∠C,當 時,△PQC∽△ABC,
,解得t= >10,不合題意;
綜上所述:當t=6時,點P、C、Q構(gòu)成的三角形與Rt△ABC相似;
(2)線段PQ的中點所經(jīng)過的路程是線段MN的長,如圖所示:
當P在B處,Q在C處時,PQ的中點為BC的中點,當點Q運動10秒時,P、Q停止運動,
PQ的中點為N,P到達D,Q到達A,
過點A作AE∥MN交BC于點E,
此時CD=30﹣2×10=10,
∴MD=15﹣10=5,
∵N是AD的中點,
∴M時DE的中點,
∴EM=DM=5,MN= AE,
∴CE=10+5+5=20,
∴AE= ,
∴MN=5 ;
即線段PQ的中點所經(jīng)過的路程長為5 .
點評: 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理以及三角形中位線的綜合運用;要注意的是(1)中,根據(jù)P、Q的不同位置分類討論.
三.全面答一答(本題有7個小題,共66 分)解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或推理步驟.如果覺得有的題目有點困難,那么把自己能寫出的解答寫出一部分也可以.
17.下列關(guān)系式是否成立(0<α<90°),請說明理由.
(1)sinα+cosα≤1;
(2)sin2α=2sinα.
考點: 同角三角函數(shù)的關(guān)系.
分析: (1)利用三角函數(shù)的定義和三角 形的三邊關(guān)系得到該結(jié)論不成立;
(2)舉出反例進行論證.
解答: 解:(1)該不等式不成立,理由如下:
如圖,在△ABC中,∠B=90°,∠C=α.
則sinα+cosα= + = >1,故sinα+cosα≤1不成立;
(2)該等式不成立,理由如下:
假設(shè)α=30°,則sin2α=sin60°= ,2sinα=2sin30°=2× =1,
∵ ≠1,
∴sin2α≠2sinα,即sin2α=2sinα不成立.
點評: 本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系.解題的關(guān)鍵是掌握銳角三角函數(shù)的定義和特殊角的三角函數(shù)值.
18.如圖,已知A、B、C分別是⊙O上的點,∠B=60°,P是直徑CD的延長線上的一點,且AP=AC.
(1)求證:AP與⊙O相切;
(2)如果PD= ,求AP的長.
考點: 切線的判定.
分析: (1)利用圓周角定理以及等腰三角形的性質(zhì)得出∠E=∠ACE=∠OCA=∠OAC=30°,∠EAC=120°,進而得出∠EAO=90°,即可得出答案;
(2)首先根據(jù)直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求得半徑,從而求得OA、OP,進而利用勾股定理得出AP的長.
解答: (1)證明:連接AO,
∵∠B=60°,
∴∠AOC=120°,
∵AO=CO,AP=AC,
∴∠P=∠ACP,∠OCA=∠OAC=30°,
∴∠P=∠ACP=∠OCA=∠OAC=30°,
∴∠PAC=120°,
∴∠PAO=90°,
∴AP是⊙O的切線;
(2)解:設(shè)⊙O的半徑為R,則OA=OD=R,OP= +R,
∵∠PAO=90°,∠P=30°,
∴OP=2OA,即 +R=2R,
解得R= ,
∴OA= ,OP=2 ,
∴OA=
根據(jù)勾股定理得,AP= = =3.
點評: 此題主要考查了圓周角定理以及勾股定理定理和切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)等知識,根據(jù)已知得出圓的半徑是解題關(guān)鍵.
19.甲口袋中裝有兩個相同的小球,它們的標號分別為2和7,乙口袋中裝有兩個相同的小球,它們的標號分別為4和5,丙口袋中裝有三個相同的小球,它們的標號分別為3,8,9.從這3個口袋中各隨機地取出1個小球.
(1)求取出的3個小球的標號全是奇數(shù)的概率是多少?
(2)以取出的三個小球的標號分別表示三條線段的長度,求這些線段能構(gòu)成三角形的概率.
考點: 列表法與樹狀圖法;三角形三邊關(guān)系.
分析: (1)因為此題需要三步完成,所以采用樹狀圖法最簡單,所以先畫樹狀圖,然后根據(jù)樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與取出的3個小球的標號全是奇數(shù)的情況,然后利用概率公式即可求得答案;
(2)根據(jù)(1)中的樹狀圖求得這些線段能構(gòu)成三角形的情況,再根據(jù)概率公式求解即可.
解答: 解:(1)畫樹狀圖得:
∴一共有12種等可能的結(jié)果,
取出的3個小球的標號全是奇數(shù)的有2種情況,
∴取出的3個小球的標號全是奇數(shù)的概率是: = .
(2)∵這些線段能構(gòu)成三角形的有2、4、3,7、4、8,7、4、9,7、5、3,7、5、8,7、5、9共6種情況,
∴這些線段能構(gòu)成三角形的概率為 = .
點評: 此題考查了樹狀圖法求概率.注意樹狀圖法適合于兩步及兩步以上完成的事件.用到的知識點為:概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.
20.如圖是一個底面三邊長都是3cm三棱柱,它的側(cè)面是正方形.現(xiàn)要從中挖取一個底面的圓柱.
(1)用尺規(guī)畫出挖取圓柱后的俯視圖;(按如圖位置擺放,保留作圖痕跡)
(2)求圓柱的底面半徑;
(3)求挖取圓柱后剩下部分幾何體的表面積.
考點: 作圖-三視圖.
分析: (1)挖取圓柱后的俯視圖為正三角形中間一個圓,依此畫出圖形即可求解;
(2)圓柱的底面半徑為正三角形高的 ;
(3)挖取圓柱后剩下部分幾何體的表面積=三棱柱的表面積﹣圓柱的兩個底面積+圓柱的側(cè)面積,依此列式計算即可求解.
解答: 解:(1)如圖所示:
(2)∵底面是正三角形,
∴從中挖取一個底面的圓柱的半徑是正三角形的內(nèi)接圓的半徑,
∴圓柱的底面半徑:3× × = (cm).
答:圓柱的底面半徑為 cm;
(3)3× = (cm)
3× ×3+3× ÷2×2﹣π×( )2×2+2π× ×
= + ﹣ π+ π
= +3π(cm2).
答:挖取圓柱后剩下部分幾何體的表面積是( +3π)cm2.
點評: 考查了作圖﹣三視圖,畫物體的三視圖的口訣為:主、俯:長對正;主、左:高平齊;俯、左:寬相等.同時考查了正三角形的性質(zhì),幾何體的面積計算.
21.如圖,已知在四邊形ABCD中,AC與BD相交于點O,AB⊥AC ,CD⊥BD.
(1)求證:△AOD∽△BOC;
(2)若cos∠ABO= ,S△BOC=18,求S△AOD的值.
考點: 相似三角形的判定與性質(zhì).
分析: (1)由AB⊥AC,CD⊥BD,可得∠BAC=∠BDC=90°,又由對頂角相等,根據(jù)有兩角對應(yīng)相等的三角形相似,易得△AOB∽△DOC,即可得到比例線段,再由∠AOD=∠BOC,即可證得△AOD∽△BOC;
(2)由cos∠ABO= ,可得 =,又由相似三角形的面積比等于相似比的平方,可求得S△BOC的值.
解答: (1)證明:∵AB⊥AC,CD⊥BD,
∴∠BAC=∠BDC=90°,
又∵∠AOB=∠DOC,
∴△AOB∽△DOC,
∴ =
∴ =
又∵∠AOD=∠BOC,
∴△AOD∽△BOC;
(2)∵∠BAC=90°,cos∠ABO= ,
∴ = , = ,
∵△AOD∽△BOC,
∴ = ,
∵S△BOC=18,
∴S△AOD=8.
點評: 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),以及三角函數(shù)的定義.解題時要注意相似三角形的面積比等于相似比的平方,有兩角對應(yīng)相等的三角形相似與有兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等三 角形相似的性質(zhì)的應(yīng)用.
22.已知二次函數(shù)y=x2﹣2bx+c的圖象與x軸只有一個交點.
(1)請寫出b、c的關(guān)系式;
(2)設(shè)直線y=7與該拋物線的交點為A、B,求AB的長;
(3)若P(a,﹣a)不在曲線y=x2﹣2bx+c上,請求出b的取值范圍.
考點: 拋物線與x軸的交點;二次函數(shù)圖象上點的坐標特征.
分析: (1)根據(jù)二次函數(shù)的圖象與x軸只有一個交點,則b2﹣4ac=0,由此可得到b、c應(yīng)滿足關(guān)系;
(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系x1+x2=2b,x1x2=c﹣7,結(jié)合b2=c,即可求得AB的長.
(3)由題意可知方程﹣x=x2﹣2bx+c沒有實數(shù)根,根據(jù)根的判別式即可求得.
解答: 解:(1)∵二次函數(shù)y=x2﹣2bx+c的圖象與x軸只有一個交點,
令y=0得:x2﹣2bx+c=0,
∵△=(﹣2b)2﹣4c=0,
∴b2=c.
(2)設(shè)A(x1,0),B(x2,0),
∵直線y=7與拋物線的交點A、B的橫坐標就是方程x2﹣2bx+c﹣7=0的兩個根x1、x2.
∴AB=|x1﹣x2|,
∵x1+x2=2b,x1x2=c﹣7,b2=c.
∴AB=|x1﹣x2|= = = = =2 .
(3)P(a,﹣a)不在曲線y=x2﹣2bx+c上,
∴直線y=﹣x與曲線y=x2﹣2bx+c沒有交點,
即方程﹣x=x2﹣2bx+c沒有實數(shù)根,
∴x2+(1﹣2b)x+c=0的△<0,
即(1﹣2b)2﹣4c<0,
整理得,1﹣4b+4b2﹣4c<0,
∵b2=c.
∴1﹣4b<0,
∴b .
點評: 本題是二次函數(shù)的綜合題型,主要考查了根的判別式,二次函數(shù)與直線的交點問題,二次函數(shù)與不等式的關(guān)系,題目的綜合性較強,難度不小,對學(xué)生的解題能力要求很高,是一道不錯的中考壓軸題.
23.如圖,在平面直角坐標系中,已知點E(﹣2,1),連結(jié)OE,△ABC的三個頂點坐標分別為A(1,4),B(1,0),C(5,0).
(1)請求出OE的長度;
(2)在△ABC的邊上找一點F,使得∠EOF=90°,求出F點的坐標;
(3)已知P是直線EO上的一個動點,以P為圓心,OE長為半徑作⊙P,當⊙P與△ABC三邊所在直線相切,求P點的坐標.(改編)
考點: 圓的綜合題.
分析: (1)根據(jù)點E的坐標為(﹣2,1),運用勾股定理直接求出OE的長度;
(2)求出直線OE的解析式,根據(jù)∠EOF=90°,求出直線OF的解析式,再求出直線OF與AB,AC的交點坐標;
(3)分別從⊙P與直線AB、BC、AC相切,求出P點的坐標.
解答: 解:(1)∵點E的坐標為(﹣2,1),
根據(jù)勾股定理得,OE= ;
(2))∵點E的坐標為(﹣2,1),
∴直線OE的解析式為y=﹣ x,
∵OE⊥OF,
∴直線OF的解析式為:y=2x,
∵A(1,4),C(5,0),
∴直線AC的解析式為:y=﹣x+5,
則y=2x與直線AB的交點坐標為(1,2),與直線AC的交點坐標為( , );
(3)設(shè)點P的坐標為(﹣2b,b)
①當⊙P與直線AB相切時,|﹣2b﹣1|= ,
b1= ,b2= ,
②當⊙P與直線BC相切時,
|b|= ,
b3= ,b4=﹣ ,
③當⊙P與直線AC相切時,
根據(jù)點到直線的距離公式, = ,
b5=﹣5+ ,b6=﹣5﹣ ,
則p1(1﹣ , ),p2( +1, ),p3(﹣2 , ),p4(2 ,﹣ ),p5(10﹣2 ,﹣5+ ),p6(10+2 ,﹣5﹣ ).
點評: 本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系,把圓與一次函數(shù)結(jié)合起來是解題的關(guān)鍵,解答時,要靈活運用數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想.
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