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2014年福建高考數(shù)學(xué)試題（理）
一.選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.復(fù)數(shù) 的共軛復(fù)數(shù) 等于（ ）
2.某空間幾何體的正視圖是三角形，則該幾何體不可能是（ ）
圓柱 圓錐 四面體 三棱柱
3.等差數(shù)列 的前 項(xiàng)和 ，若 ，則 ( )
4.若函數(shù) 的圖像如右圖所示，則下列函數(shù)圖像正確的是學(xué)科網(wǎng)（ ）
5.閱讀右圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的 得值等于（ ）
6.直線 與圓 相交于 兩點(diǎn)，則 是“ 的面積為 ”的（ ）
充分而不必要條件 必要而不充分條件
充分必要條件 既不充分又不必要條件
7.已知函數(shù) 則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 是偶函數(shù) B. 是增函數(shù) C. 是周期函數(shù) D. 的值域?yàn)?
8.在下列向量組中，可以把向量 表示出來(lái)的是（ ）
A. B .
C. D.
9.設(shè) 分別為 和橢圓 上的點(diǎn)，則 兩點(diǎn)間的距離是（ ）
A. B. C. D.
10.學(xué)科網(wǎng)用 代表紅球， 代表藍(lán)球， 代表黑球，由加法原理及乘法原理，從1個(gè)紅球和1個(gè)籃球中取出若干個(gè)球的所有取法可由 的展開式 表示出來(lái)，如：“1”表示一個(gè)球都不取、“ ”表示取出一個(gè)紅球，面“ ”用表示把紅球和籃球都取出來(lái).以此類推，下列各式中，其展開式可用來(lái)表示從5個(gè)無(wú)區(qū)別的紅球、5個(gè)有區(qū)別的黑球中取出若干個(gè)球，且所有的籃球都取出或都不取出的所有取法的是
A. B.
C. D.
二、填空題
11、若變量 滿足約束條件 則 的最小值為________
12、在 中， ,則 等于_________
13、要制作一個(gè)容器為4 ，高為 的無(wú)蓋長(zhǎng)方形容器，已知該容器的底面造價(jià)是每平方米20元，側(cè)面造價(jià)是每平方米10元，則該容器的最低總造價(jià)是_______（單位：元）
14.如圖，在邊長(zhǎng)為 （ 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的正方形中隨機(jī)撒一粒黃豆，則他落到陰影部分的概率為______.
15.若集合 且下列四個(gè)關(guān)系：
① ；② ；③ ；④ 有且只有一個(gè)是正確的，則符合條件的有序數(shù)組 的個(gè)數(shù)是_________.
三．解答題：本大題共6小題，共80分.
16.（本小題滿分13分）
已知函數(shù) .
（1）若 ，且 ，求 的值；
（2）求函數(shù) 的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.
17.（本小題滿分12分）
在平行四邊形 中， ， .將 沿 折起，使得平面 平面 ，如圖.
（1）求證： ；
（2）若 為 中點(diǎn)，求直線 與平面 所成角的正弦值.
18.（本小題滿分13分）
為回饋顧客，某商場(chǎng)擬通過(guò)摸球兌獎(jiǎng)的方式對(duì)1000位顧客進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，規(guī)定：每位顧客從
一個(gè)裝有4個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧
客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額.
（1）若袋中所裝的4個(gè)球中有1個(gè)所標(biāo)的面值為50元，其余3個(gè)均為10元，求
①顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率
②顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的分布列及數(shù)學(xué)期望;
（2）商場(chǎng)對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)總額的預(yù)算是60000元，并規(guī)定袋中的4個(gè)球只能由標(biāo)有面值10元和
50元的兩種球組成，或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成.為了使顧客得到的獎(jiǎng)勵(lì)
總額盡可能符合商場(chǎng)的預(yù)算且每位顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額相對(duì)均衡，請(qǐng)對(duì)袋中的4個(gè)球
的面值給出一個(gè)合適的設(shè)計(jì)，并說(shuō)明理由.
19.（本小題滿分13分）
已知雙曲線 的兩條漸近線分別為 .
（1）學(xué)科網(wǎng)求雙曲線 的離心率；
（2）如圖， 為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)直線 分別交直線 于 兩點(diǎn)（ 分別在第一，
四象限），且 的面積恒為8，試探究：是否存在總與直線 有且只有一個(gè)公
共點(diǎn)的雙曲線 ？若存在，求出雙曲線 的方程；若不存在，說(shuō)明理由。
20. （本小題滿分14分）
已知函數(shù) （ 為常數(shù)）的圖像與 軸交于點(diǎn) ，曲線 在點(diǎn) 處
的切線斜率為-1.
（I）求 的值及函數(shù) 的極值；
（II）證明：當(dāng) 時(shí)， ；
（III）證明：對(duì)任意給定的正數(shù) ，總存在 ，使得當(dāng) ，恒有 .
21. 本題設(shè)有（1），（2），（3）三個(gè)選考題，每題7分，請(qǐng)考生任選2題作答，滿分14分.
如果多做，則按所做的前兩題計(jì)分.作答時(shí)，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)題
號(hào)右邊的方框涂黑，并將所選題號(hào)填入括號(hào)中.
（1）（本小題滿分7分）選修4—2：矩陣與變換
已知矩陣 的逆矩陣 .
（I）求矩陣 ；
（II）求矩陣 的特征值以及屬于每個(gè)特征值的一個(gè)特征向量.
（2）（本小題滿分7分）選修4—4：極坐標(biāo)與參數(shù)方程
已知直線 的參數(shù)方程為 ，（ 為參數(shù)），圓 的參數(shù)方程為
，（ 為常數(shù)）.
（I）求直線 和圓 的普通方程；
（II）學(xué)科網(wǎng)若直線 與圓 有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
（3）（本小題滿分7分）選修4—5：不等式選將
已知定義在R上的函數(shù) 的最小值為 .
（I）求 的值；
（II）若 為正實(shí)數(shù)，且 ，求證： .
2014年福建高考數(shù)學(xué)試題（理）
一.選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.復(fù)數(shù) 的共軛復(fù)數(shù) 等于（ ）
2.某空間幾何體的正視圖是三角形，則該幾何體不可能是（ ）
圓柱 圓錐 四面體 三棱柱
3.等差數(shù)列 的前 項(xiàng)和 ，若 ，則 ( )
4.若函數(shù) 的圖像如右圖所示，則下列函數(shù)圖像正確的是學(xué)科網(wǎng)（ ）
5.閱讀右圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的 得值等于（ ）
6.直線 與圓 相交于 兩點(diǎn)，則 是“ 的面積為 ”的（ ）
充分而不必要條件 必要而不充分條件
充分必要條件 既不充分又不必要條件
7.已知函數(shù) 則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 是偶函數(shù) B. 是增函數(shù) C. 是周期函數(shù) D. 的值域?yàn)?
8.在下列向量組中，可以把向量 表示出來(lái)的是（ ）
A. B .
C. D.
9.設(shè) 分別為 和橢圓 上的點(diǎn)，則 兩點(diǎn)間的距離是（ ）
A. B. C. D.
10.學(xué)科網(wǎng)用 代表紅球， 代表藍(lán)球， 代表黑球，由加法原理及乘法原理，從1個(gè)紅球和1個(gè)籃球中取出若干個(gè)球的所有取法可由 的展開式 表示出來(lái)，如：“1”表示一個(gè)球都不取、“ ”表示取出一個(gè)紅球，面“ ”用表示把紅球和籃球都取出來(lái).以此類推，下列各式中，其展開式可用來(lái)表示從5個(gè)無(wú)區(qū)別的紅球、5個(gè)有區(qū)別的黑球中取出若干個(gè)球，且所有的籃球都取出或都不取出的所有取法的是
A. B.
C. D.
二、填空題
11、若變量 滿足約束條件 則 的最小值為________
12、在 中， ,則 等于_________
13、要制作一個(gè)容器為4 ，高為 的無(wú)蓋長(zhǎng)方形容器，已知該容器的底面造價(jià)是每平方米20元，側(cè)面造價(jià)是每平方米10元，則該容器的最低總造價(jià)是_______（單位：元）
14.如圖，在邊長(zhǎng)為 （ 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的正方形中隨機(jī)撒一粒黃豆，則他落到陰影部分的概率為______.
15.若集合 且下列四個(gè)關(guān)系：
① ；② ；③ ；④ 有且只有一個(gè)是正確的，則符合條件的有序數(shù)組 的個(gè)數(shù)是_________.
三．解答題：本大題共6小題，共80分.
16.（本小題滿分13分）
已知函數(shù) .
（1）若 ，且 ，求 的值；
（2）求函數(shù) 的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.
17.（本小題滿分12分）
在平行四邊形 中， ， .將 沿 折起，使得平面 平面 ，如圖.
（1）求證： ；
（2）若 為 中點(diǎn)，求直線 與平面 所成角的正弦值.
18.（本小題滿分13分）
為回饋顧客，某商場(chǎng)擬通過(guò)摸球兌獎(jiǎng)的方式對(duì)1000位顧客進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，規(guī)定：每位顧客從
一個(gè)裝有4個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧
客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額.
（1）若袋中所裝的4個(gè)球中有1個(gè)所標(biāo)的面值為50元，其余3個(gè)均為10元，求
①顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率
②顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的分布列及數(shù)學(xué)期望;
（2）商場(chǎng)對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)總額的預(yù)算是60000元，并規(guī)定袋中的4個(gè)球只能由標(biāo)有面值10元和
50元的兩種球組成，或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成.為了使顧客得到的獎(jiǎng)勵(lì)
總額盡可能符合商場(chǎng)的預(yù)算且每位顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額相對(duì)均衡，請(qǐng)對(duì)袋中的4個(gè)球
的面值給出一個(gè)合適的設(shè)計(jì)，并說(shuō)明理由.
19.（本小題滿分13分）
已知雙曲線 的兩條漸近線分別為 .
（1）學(xué)科網(wǎng)求雙曲線 的離心率；
（2）如圖， 為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)直線 分別交直線 于 兩點(diǎn)（ 分別在第一，
四象限），且 的面積恒為8，試探究：是否存在總與直線 有且只有一個(gè)公
共點(diǎn)的雙曲線 ？若存在，求出雙曲線 的方程；若不存在，說(shuō)明理由。
20. （本小題滿分14分）
已知函數(shù) （ 為常數(shù)）的圖像與 軸交于點(diǎn) ，曲線 在點(diǎn) 處
的切線斜率為-1.
（I）求 的值及函數(shù) 的極值；
（II）證明：當(dāng) 時(shí)， ；
（III）證明：對(duì)任意給定的正數(shù) ，總存在 ，使得當(dāng) ，恒有 .
21. 本題設(shè)有（1），（2），（3）三個(gè)選考題，每題7分，請(qǐng)考生任選2題作答，滿分14分.
如果多做，則按所做的前兩題計(jì)分.作答時(shí)，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)題
號(hào)右邊的方框涂黑，并將所選題號(hào)填入括號(hào)中.
（1）（本小題滿分7分）選修4—2：矩陣與變換
已知矩陣 的逆矩陣 .
（I）求矩陣 ；
（II）求矩陣 的特征值以及屬于每個(gè)特征值的一個(gè)特征向量.
（2）（本小題滿分7分）選修4—4：極坐標(biāo)與參數(shù)方程
已知直線 的參數(shù)方程為 ，（ 為參數(shù)），圓 的參數(shù)方程為
，（ 為常數(shù)）.
（I）求直線 和圓 的普通方程；
（II）學(xué)科網(wǎng)若直線 與圓 有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
（3）（本小題滿分7分）選修4—5：不等式選將
已知定義在R上的函數(shù) 的最小值為 .
（I）求 的值；
（II）若 為正實(shí)數(shù)，且 ，求證： .
