2014江西南昌高考數(shù)學(xué)押題：（文科）
一．選擇題
1.已知z＝1－i(i是虛數(shù)單位)，則4z＋z2＝(　　)
A．2　　 　　B．2i　　　 　C．2＋4i　 　D．2－4i
2.設(shè)U＝R，M＝{x|x2－x≤0}，函數(shù)f(x)＝1x－1的定義域?yàn)镈，則M∩(CUD)＝ (　　)．
A．[0,1)　 B．(0,1)　　 C．[0,1]　 D．{1}
3.設(shè)5π2<θ<3π，且|cosθ|＝15，那么sinθ2的值為(　　)
A.105 B．－105 C．－155 D.155
4.已知f(x)＝x＋3，x≤1，－x2＋2x＋3，x＞1，則函數(shù)g(x)＝f(x)－ex的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 (　　)．
A．1　B．2　 C．3　 D．4
5. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的 值為( )
A． B． C． D．
6 . 已知2log6x＝1－log63，則x的值是(　　)
A.3 B.2 C.2或－2 D.3或2
7. 一空間幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體積為12π＋853，則正視圖與側(cè)視圖中x的值為(　　)
A．5　　　　B．4　　　　C．3　　　　D．2
8. 已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，當(dāng)x∈R時(shí)，f(x)恒為正值，則k的取值范圍是(　　)
A．(－∞，－1) B．(－ ∞，22－1) C．(－1,22－1) D．(－22－1,22－1) 　
9. 如圖，設(shè)點(diǎn)A是單位圓上的一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)在圓上按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)P所旋轉(zhuǎn)過的弧 的長為l，弦AP的長為d，則函數(shù)d=f（l）的圖象大致為（　�。�
10．如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線C： 的左、
右焦點(diǎn)，過F2的直線與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)．若
為等邊三角形，則雙曲線的離心率為 ( )
A． B． C ． D．
二：填空題
11. 如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E為CD的中點(diǎn)，則 ＝________.
12．設(shè)等比數(shù)列 的前 和為 ，已知 的值是 ．
13. 已知不等式組y≤x，y≥－x，x≤a，表示的平面區(qū)域S的面積為4，點(diǎn)P(x，y)∈S，則z＝2x＋y的值為________．
14. 已知曲線 恰有三個(gè)點(diǎn)到直線 距離為1，則 ．
15. 已知球的半徑為5，球面被互相垂直的兩個(gè)平面所截，得到的兩個(gè)圓的公共弦長為23，若其中一個(gè)圓的半徑為4，則另一個(gè)圓的半徑為 _________
三.解答題
16. （12分）已知函數(shù) ．]
（1）求函數(shù) 的最小值和最小正周期；
（2）設(shè) 的內(nèi)角 、 、 的對(duì)邊分別為 ， ， ，且 ， ，若
，求 ， 的值．

17．（12分）某日用品按行業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)分成五個(gè)等級(jí)，等級(jí)系數(shù)x依次為1,2,3,4,5.現(xiàn)從一 批該日用品中隨機(jī)抽取20件，對(duì)其等級(jí)系數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到頻率分布表如下：
x 1 2 3 4 5
f a 0.2 0.45 b c
(1)若所抽取的20件日用品中，等級(jí)系數(shù)為4的恰有3件，等級(jí)系數(shù)為5的恰有2件，求a，b，c的值；
(2)在(1)的條件下，將等級(jí)系數(shù)為4的3件日用品記為x1，x2，x3，等 級(jí)系數(shù)為5的2件日用品記為y1，y2.現(xiàn)從x1，x2，x3，y1，y2這5件日用品中任取兩件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，寫出所有可能的結(jié)果，并求這兩件日用品的等級(jí)系數(shù)恰好相等的概率．
18．（12分）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a4＝S2， a2n +2=2 an，
(1)求數(shù)列{ an}的通項(xiàng)公式；(2)若 bn ,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn，并求Tn的取值范圍.

19. （12分）如圖，三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱AA1⊥底面ABC，∠ACB＝90°，E是棱CC1的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，AC＝BC＝1，AA1＝2.
(1)求證：CF∥平面AB1E； (2)求三棱錐C－AB1E在底面AB1E上的高．

20.(13分) 雙曲線x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的離心率為2，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線AB的距離為32，其中A(0，－b)，B(a,0)．
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)F是雙曲線的右焦點(diǎn)，直線l過點(diǎn)F且與雙曲線的右支交于不同的兩點(diǎn)P、Q，點(diǎn)M為線段PQ的中點(diǎn)．若點(diǎn)M在直線x＝－2上的射影為N，滿足 ＝0，且 |＝10，求直線l的方程．
21.（14分）
已知函數(shù) .
(1) 當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù) 在（ 處的切線方程；
（2）若函數(shù) 有三個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
（3）定義：如果曲線C上存在不同的兩點(diǎn) ， ，過AB的中點(diǎn)且垂直于x軸的直線交曲線C于點(diǎn)M，若直線AB與曲線C在點(diǎn)M處的切線平行，則稱曲線C有“ 平衡切線”，試判斷 的圖象是否有“平衡切線”，并說明理由.

答案
一．選擇題
1.已知z＝1－i(i是虛數(shù)單位)，則4z＋z2＝(　　)
A．2　　 　　B．2i　　　 　C．2＋4i　 　D．2－4i [答案]　A
2.設(shè)U＝R，M＝{x|x2－x≤0}，函數(shù)f(x)＝1x－1的定義域?yàn)镈，則M∩(∁UD)＝ (　　)．
A．[0,1)　 B．(0,1)　　 C．[0,1]　 D．{1} 答案　C
3.設(shè)5π2<θ<3π，且|cosθ|＝15，那么sinθ2的值為(　　)
A.105 B．－105 C．－155 D.155 [答案]　C
4 .已知f(x)＝x＋3，x≤1，－x2＋2x＋3，x＞1，則函數(shù)g(x)＝f(x)－ex的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 (　　)．
A．1　B．2　 C．3　 D．4 選B.
5. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的 值為( )

A． B． C． D．
【答案】C
6. 已知2log6x＝1－log63，則x的值是(　　)
A.3 B.2 C.2或－2 D.3或2 【答案】　B
7. 一空間幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體積為12π＋853，則正視圖與側(cè)視圖中x的值為(　　)

A．5　　　　B．4　　　　C．3　　　　D．2 [答案]　C
8. 已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，當(dāng)x∈R時(shí)，f(x)恒為正值，則k的取值范圍是(　　)
A．(－∞，－1) B．(－ ∞，22－1) C．(－1,22－1) D．(－22－1,22－1) B　
9. 如圖，設(shè)點(diǎn)A是單位圓上的一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)在圓上按逆 時(shí)針方向轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)P所旋轉(zhuǎn)過的弧 的長為l，弦AP的長為d，則函數(shù)d=f（l）的圖象大致為（　�。�
10．如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線C： 的左、
右焦點(diǎn)，過F2的直線與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)．若
為等邊三角形，則雙曲線的離心率為 ( ) B
A． B． C ． D．
二：填空題
11. 如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E為CD的中點(diǎn)，則 ＝________.[答案]　1
12．設(shè)等比數(shù)列 的前 和為 ，已知 的值是 ．[答案] 0
13. 已知不等式組y≤x，y≥－x，x≤a，表示的平面區(qū)域S的面積為4，點(diǎn)P(x，y)∈S，則z＝2x＋y的值為________．[答案]　6
14. 已知曲線 恰有三個(gè)點(diǎn)到直線 距離為1，則 ．[答案]9
15. 已知球的半徑為5，球面被互相垂直的兩個(gè)平面所截，得到的兩個(gè)圓的公共弦長為23，若其中一個(gè)圓的半徑為4，則另一個(gè)圓的半徑為 _________[答案]23
三：解答題
16.已知函數(shù) ．]
（1）求函數(shù) 的最小值和最小正周期；
（2）設(shè) 的內(nèi)角 、 、 的對(duì)邊分別為 ， ， ，且 ， ，若
，求 ， 的值．
解：（1） ，…………3分
則 的最小值是－2， …………5分
最小正周期是 ； …………7分
（2） ，則 ，
，xkb1.com
， ， …………10分
，由正弦定理，得 ，① …………11分
由余弦定理，得 ，即 ， ②
由①②解得 ． …………14分
17．某日用品按行業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)分成五個(gè)等級(jí)，等級(jí)系數(shù)x依次為1,2,3,4,5.現(xiàn)從一批該日用品中隨機(jī)抽取20件，對(duì)其等級(jí)系數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到頻率分布表如下：
x 1 2 3 4 5
f a 0.2 0.45 b c
(1)若所抽取的20件日用品中，等級(jí)系數(shù)為4的恰有3件，等級(jí)系數(shù)為5的恰有2件，求a，b，c的值；
(2)在(1)的條件下，將等級(jí)系數(shù)為4的3件日用品記為x1，x2，x3，等級(jí)系數(shù)為5的2件日用品記為y1，y2.現(xiàn)從x1，x2，x3，y1，y2這5件日用品中任取兩件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，寫出所有可能的結(jié)果，并求這兩件日用品的等級(jí)系數(shù)恰好相等的概率．
解　(1)由頻率分布表得a＋0.2 ＋0.45＋b＋c＝1，即a＋b＋c＝0.35.因?yàn)槌槿〉?0件日用品中，等級(jí)系數(shù)為4的恰有3件，所以b＝320＝0.15.等級(jí)系數(shù)為5的恰有2件，所以c＝220＝0.1.從而a＝0.35－b－c＝0.1.
所以a＝0.1，b＝0.15，c＝0.1.
(2)從日用品x1，x2，x3，y1，y2中任取兩件，所有可能的結(jié)果為：(x1，x2)，(x1，x3)，(x1，y1)，(x1，y2)，(x2，x3)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x3，y1)，(x3，y2)，(y1，y2)．
設(shè)事件A表示“從日用品x1，x2，x3，y1，y2中任取兩件，其等級(jí)系數(shù)相等”，則A包含的基本事件為：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x3)，(y1，y2)，共4個(gè)．
又基本事件的總數(shù)為10，故所求的概率P(A)＝410＝0.4.

18．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a4＝S2， a2n +2=2 an，
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng) 公式；(2)若 bn ,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn

19.如圖，三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱AA1⊥底面ABC，∠ACB＝90°，E是棱CC1的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，AC＝BC＝1，AA1＝2.
(1)求證：CF∥平面AB1E； (2)求三棱錐C－AB1E在底面AB1E上的高．

解析：　(1)證明：取AB1的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，
∵F、G分別是AB、AB1的中點(diǎn)，∴FG∥BB1，F(xiàn)G＝12BB1.
∵E為側(cè)棱CC1的中點(diǎn)，∴FG∥EC，F(xiàn)G＝EC，∴四邊形FGEC是平行四邊形，
∴CF∥EG，∵CF⊄平面AB1E，EG⊂平面AB1E，∴CF∥平面AB1E.
(2)∵三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱AA1⊥底面ABC，∴BB1⊥平面ABC.
又AC⊂平面ABC，∴AC⊥BB1，∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，
∵BB1∩BC＝B，∴AC⊥平面EB1C，∴AC⊥CB1，∴VA－EB1C＝13S△EB1C•AC
＝13×12×1×1×1＝16.∵AE＝EB1＝2，AB1＝6，∴S△AB1E＝32，
∵VC－AB1E＝VA－EB1C，∴三棱錐C－AB1E在底面AB1E上的高為3VC－AB1ES△AB1E＝33.
20.(13分) 雙曲線x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的離心率為2，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線AB的距離為32，其中A(0，－b)，B(a,0)．
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)F是雙曲線的右焦點(diǎn)，直線l過點(diǎn)F且與雙曲線的右支交于不同的兩點(diǎn)P、Q，點(diǎn)M為線段PQ的中點(diǎn)．若點(diǎn)M在直線x＝－2上的射影為N，滿足PN→•QN→＝0，且|PQ→|＝10，求直線l的方程．
解：　(1)依題意有ca＝2，aba2＋b2＝32，a2＋b2＝c2.解得a＝1，b＝3，c＝2.
所以，所求雙曲線的方程為x2－y23＝1.
以k2>3.②
因?yàn)镻N→•QN→＝0，則PN⊥QN，又M為PQ的中點(diǎn)，|PQ→|＝10，所以|PM|＝|MN|＝|MQ|＝12|PQ|＝5. 又|MN|＝x0＋2＝5，∴x0＝3， 而x0＝x1＋x22＝2k2k2－3＝3，∴k2＝9，解得k＝±3.
∵k＝±3滿足②式，∴k＝±3符合題意． 所以直線l的方程為y＝±3(x－2)．
即3x－y－6＝0或3x＋y－6＝0.
21.（本大題滿分14分）
已知函數(shù) .
(1) 當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù) 在（ 處的切線方程；
（2）若函數(shù) 有三個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
（3）定義：如果曲線C上存在不同的兩點(diǎn) ， ，過AB的中點(diǎn)且垂直于x軸的直線交曲線C于點(diǎn)M，若直線AB與曲線C在點(diǎn)M處的切線平行，則稱曲線C有“平衡切線”，試判斷 的圖象是否有“平衡切線”，并說明理由.