一、學習指引
1.知識要點：
三角形及四邊形的基本性質(zhì)，特殊三角形、特殊四邊形、全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)、相似等變換的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象和性質(zhì)。
2.方法指導：
（1）解決動態(tài)幾何型問題的策略：化“動”為“靜”——利用運動中特殊點的位置將圖形分類；“靜”中求“動”——針對各類圖形，分別解決動態(tài)問題。
（2）解決圖形分割問題的思維方式是：從具體問題出發(fā)→觀察猜想→實驗操作→形成方案→嚴密計算與論證；圖形分割問題的解題策略：比較原圖形與分割后圖形在邊、角、面積等方面的變化是解決圖形分割問題的著手點；
（3）新概念性幾何題解題策略：正確理解問題中的“新概念”，然后抓住 “新概念”的特征，結(jié)合相關(guān)的數(shù)學知識綜合解決問題。
二、 典型例題
例1．如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，動點P從點B出發(fā)，沿路線B→C→D作勻速運動，那么△ABP的面積S與點P運動的路程 之間的函數(shù)圖象大致是（ ）
例2．如圖，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分別從A，B，C，D出發(fā)沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的邊上同時運動，當有一個點先到達所在運動邊的另一個端點時，運動即停止．已知在相同時間內(nèi)，若BQ=xcm( )，則AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．
（1）當x為何值時，以PQ，MN為兩邊,以矩形的邊（AD或BC）的一部分為第三邊構(gòu)成一個三角形；
（2）當x 為何值時，以P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形；
（3）以P，Q，M，N為頂點的四邊形能否為等腰梯形?如果能，求x的值；如果不能，請說明理由．
例3．三張形狀、大小完全相同的平行四邊形透明紙片，分別放在方格紙中，方格紙中的每個小正方形的邊長均為1，并且平行四邊形紙片的每個頂點與小正方形的頂點重合（如圖1、圖2、圖3）．分別在圖1、圖2、圖3中，經(jīng)過平行四邊形紙片的任意一個頂點畫一條裁剪線，沿此裁剪線將平行四邊形紙片裁成兩部分，并把這兩部分重新拼成符合下列要求的幾何圖形．要求如下：
（1）在左邊的平行四邊形紙片中畫一條裁剪線，然后在右邊相對應的方格紙中，按實際大小畫出所拼成的符合要求的幾何圖形；
（2）裁成的兩部分在拼成幾何圖形時要互不重疊且不留空隙；
（3）所畫出的幾何圖形的各頂點必須與小正方形的頂點重合．
例4．如圖，兩個邊長分別為4和3的正方形，請用線段將它們進行適當分割，剪拼成一個大正方形，請在下圖中分別畫出兩種不同的拼法，并將剪拼前、后的相同區(qū)域用相同數(shù)字序號標出．
例5．如圖，在梯形OABC中，O為直角坐標系的原點，A、B、C的坐標分別為(14，0)，(14，3)，(4，3)．點P、Q同時從原點出發(fā)，分別做勻速運動，其中點P沿OA向終點A運動，速度為每秒1個單位，點Q沿OC、CB向終點B運動．當這兩點中有一點到達自己的終點時，另一點也停止運動．
（1）設(shè)從出發(fā)起運動了x秒，如果點Q的速度為每秒2個單位，試分別寫出這時點Q在OC上或CB上時的坐標(用含x的代數(shù)式表示，不要求寫出x的取值范圍)；
（2）設(shè)從出發(fā)起運動了x秒，如果點P與點Q所經(jīng)過的路程之和恰好為梯形OABC的周長的一半．
①試用含x的代數(shù)式表示這時點Q所經(jīng)過的路程和它的速度；
②試問：這時直線PQ是否可能同時把梯形OABC的面積也分成相等的兩部分？如果有可能，求出相應的x的值和P、Q的坐標，如不可能，請說明理由．
例6．如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠A=45°，AB=10cm，CD=4cm，等腰直角三角形PMN的斜邊MN=10cm，A點與N點重合，MN和AB在一條直線上，設(shè)等腰梯形ABCD不動，等腰直角三角形PMN沿AB所在直線以1cm/s的速度向右移動，直到點N與點B重合為止。
（1）等腰直角三角形PMN在整個移動過程中與等腰梯形ABCD重疊部分的形狀由________形變化為___________形；
（2）設(shè)當?shù)妊苯恰鱌MN移動x（s）時，等腰直角△PMN與等腰梯形ABCD重疊部分的面積為y（cm2）。
① 當x=6時，求y的值；
② 當6＜x≤10時，求y與x的函數(shù)關(guān)系。
例7．邊形一條對角線所在直線上的點，如果到這條對角線的兩端點的距離不相等，但到另一對角線的兩個端點的距離相等，則稱這點為這個四邊形的準等距點．如圖l，點P為四邊形ABCD對角線AC所在直線上的一點，PD=PB，PA≠PC，則點P為四邊形ABCD的準等距點． (1)如圖2，畫出菱形ABCD的一個準等距點． (2)如圖3，作出四邊形ABCD的一個準等距點(尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法)． (3)如圖4，在四邊形ABCD中，P是AC上的點，PA≠PC，延長BP交CD于點E，延長DP交BC于點F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF．求證：點P是四邊形AB CD的準等距點． (4)試研究四邊形的準等距點個數(shù)的情況(說出相應四邊形的特征及準等距點的個數(shù)，不必證明)．
直線型幾何綜合題同步練習
班級 姓名
【基礎(chǔ)鞏固】
1．如圖,一艘旅游船從A點駛向C點. 旅游船先從A點沿以D為圓心的弧AB行駛到B點,然后從B點沿直徑行駛到圓D上的C點.假如旅游船在整個行駛過程中保持勻速,則下面各圖中,能反映旅游船與D點的距離隨時間變化的圖象大致是（ ）
2．如圖，A，B的坐標為（2，0），（0，1）若將線段 平移至 ，則—2（ ）的值為（ �。�
A．2 B．3 C．4 D．5
3．如圖，點A的坐標為(－1，0)，點B在直線y=x上運動，當線段AB最短時，點B的坐標為 （ ）
（A）（0，0） （B）（ ， ）
（C）（－ ，－ ） （D）（－ ，－ ）
4．如圖，一個 的矩形可以用3種不同的方式分割成2或5或8個小正方形，那么一個 的矩形用不同的方式分割后，小正方形的個數(shù)可以是
5．如圖，在直角坐標系中，已知點 ， ，對△ 連續(xù)作旋轉(zhuǎn)變換，依次得到三角形①、②、③、④…，則三角形⑩的直角頂點的坐標為 ．
6．如圖，將邊長為1的正三角形 沿 軸正方向連續(xù)翻轉(zhuǎn)2008次，點 依次落在點 的位置，則點 的橫坐標為 ．
7．矩形ABCD的邊AB=8，AD=6，現(xiàn)將矩形ABCD放在直線l上且沿著l向右作無滑動地翻滾，當它翻滾至類似開始的位置 時（如圖所示），則頂點A所經(jīng)過的路線長是_________
8．如圖，正方形ABCD邊長為1，動點P從A點出發(fā)，沿正方形的邊按逆時針方向運動，當它的運動路程為2009時，點P所在位置為______；當點P所在位置為D點時，點P的運動路程為______（用含自然數(shù)n的式子表示）．
9．如圖，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，畫出面積不相等的三個菱形，使菱形的頂點都在矩形的邊上，并分別求出所畫菱形的面積。（下列圖形供畫圖用）
10．我們知道：過平行四邊形紙片的一個頂點，作一條垂線段，沿這條垂線段剪下這個三角形紙片，將它平移到右邊的位置，平移距離等于平行四邊形的底邊長a，可得到一個矩形（如圖1）。（1）在圖2的紙片中，AD＞AB，按上述方法，你能使所得的四邊形是菱形嗎？如果能，畫出這條線段及平移后的三角形（用陰影部分表示）；如果不能，請說明理由。（2）什么樣的平行四邊形紙片按上述方法能得到正方形？畫出這個平行四邊形，并說明理由。
11．如圖，四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，但AD CD，我們稱這樣的四邊形為“半菱形”。小明說“‘半菱形’的面積等于兩條對角線乘積的一半”。他的說法正確嗎？請你判斷并證明你的結(jié)論。
12．如圖，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=Rt∠，AB=AD=10㎝，BC=8㎝。點P從點A出發(fā)，以每秒2㎝的速度沿線段AB方向向點B運動，點Q從點D出發(fā)，以每秒3㎝的速度沿線段DC方向向點C運動。已知動點P、Q同時發(fā)，當點P運動到點B時，P、Q運動停止，設(shè)運動時間為t。
（1）求CD的長；（2）當四邊形PBQD為平行四邊形時，求四邊形PBQD的周長；
（3）在點P、點Q的運動過程中，是否存在某一時刻，使得△BPQ的面積為20㎝2，若存在，請求出所有滿足條件的t的值；若不存在，請說明理由。
【能力拓展】
13．把兩個全等的等腰直角三角形ABC和EFG（其直角邊長均為4）疊放在一起（如圖①），且使三角板EFG的直角頂點G與三角板ABC的斜邊中點O重合.現(xiàn)將三角板EFG繞O點順時針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角α滿足條件：0°＜α＜90°)，四邊形CHGK是旋轉(zhuǎn)過程中兩三角板的重疊部分（如圖②）。
（1）在上述旋轉(zhuǎn)過程中，BH與CK有怎樣的數(shù)量關(guān)系？四邊形CHGK的面積有何變化？證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；
（2）連接HK，在上述旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)BH＝ ，△GKH的面積為 ，求 與 之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量 的取值范圍；
（3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使△GKH的面積恰好等于△ABC面積的 ？若存在，求出此時 的值；若不存在，說明理由。
14．我們給出如下定義:若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方,則稱這個四邊形為勾股四邊形,這兩條相鄰的邊稱為這個四邊形的勾股邊.
(1)除了正方形外,寫出你所學過的特殊四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形的名稱: ;
(2)如圖1,已知格點(小正方形的頂點)O(0,0),A(3,0),B(0,4),請你畫出以格點為頂點,OA,OB為勾股邊且對角線相等的勾股四邊形OAMB,并寫出點M的坐標;
(3)如圖2,以ΔABC的邊AB,AC為邊,向三角形外作正方形ABDE及ACFG,連結(jié)CE,BG相交于O點,P是線段DE上任意一點.求證:四邊形OBPE是勾股四邊形.
15．如圖，菱形、矩形與正方形的形狀有差異，我們將菱形、矩形與正方形的接近程度稱為“接近度”．在研究“接近度”時，應保證相似圖形的“接近度”相等．
（1）設(shè)菱形相鄰兩個內(nèi)角的度數(shù)分別為 和 ，將菱形的“接近度”定義為 ，于是， 越小，菱形越接近于正方形．
①若菱形的一個內(nèi)角為 ，則該菱形的“接近度”等于 ；
②當菱形的“接近度”等于 時，菱形是正方形．
（2）設(shè)矩形相鄰兩條邊長分別是 和 （ ），將矩形的“接近度”定義為 ，于是 越小，矩形越接近于正方形．你認為這種說法是否合理？若不合理，給出矩形的“接近度”一個合理定義．
直線型幾何綜合題（典型例題）
例1.B
例2.（1） （2）x=2或x=4 （3）不存在，理由略.
例3.
（1）（2）
（3）
例4.
例5. (1)當Q在OC上時， Q ( )；當點Q在CB上時， Q (2x-1，3)． (2)①點Q所經(jīng)過的路程為16-x，速度為 ．②PQ不可能同時把梯形OABC的面積也分成相等的兩部分．
例6.等腰直角三角形；等腰梯形；（2）①9；②y=3x-9。
例7.解：(1)因為菱形的對角線互相垂直平分，所以在直線AC上除線段AC中點外的任意一點都符合條件。2)線段BD的垂直平分線與直線AC的交點。(3)連結(jié)DB，證 △DCF≌△BCE(AAS)， ∴CD=CB， ∴∠CDB=∠CBD. ∴∠PDB=∠PBD， ∴PD=PB， ∵PA≠PC ∴點P是四邊形ABCD的準等距點．
(4)①當四邊形的對角線互相垂直且任何一條對角線不平分另一對角線或者對角線互相平分且不垂直時，準等距點的個數(shù)為0個；②當四邊形的對角線不互相垂直，又不互相平分，且有一條對角線的中垂線經(jīng)過另一對角線的中點時，準等距點的個數(shù)為1個；③當四邊形的對角線既不互相垂直又不互相平分，且任何一條對角線的中垂線都不經(jīng)過另一條對角線的中點時，準等距點的個數(shù)為2個；④四邊形的對角線互相垂直且至少有一條對角線平分另一對角線時，準等距點有無數(shù)個．
直線型幾何綜合題（同步練習）
【基礎(chǔ)鞏固】
1．B； 2．D ；3．C ； 4．4或7或9或12或15個小正方形； 5． ；6． 2008；
7．12π；8．點B；4n＋3；
11．
12．(1)CD=16(cm) (2)當四邊形PBQD為平行四邊形時，
點P在AB上，點Q在DC上，如圖，由題知：BP=10-2t
,DQ=3t。10-2t=3t,解得t=2此時，BP=DQ=6,CQ=10。
BQ= = 。∴四邊形PBQD的周長=2（BP+BQ）
=12+ (cm) (3)假設(shè)存在某一時刻，使得△BPQ的
面積為20cm2
∵BP=10-2t。S△BPQ= ∴t=
∴存在t, 當t= 秒時△BPQ的面積為20cm2′
【能力拓展】
13．（1）S四邊形CHGK的面積為4，是一個定值；（2） （0＜ ＜4）；（3）當 或 時，△GHK的面積均等于△ABC的面積的 。
14．（1）矩形．正方形等；（2）（3，4）．（4，3）；（3）略
15．（1）①40． ②0．（2）不合理．例如，對兩個相似而不全等的矩形來說，它們接近正方形的程度是相同的，但 卻不相等．合理定義方法不，如定義為 ． 越小，矩形越接近于正方形； 越大，矩形與正方形的形狀差異越大；當 時，矩形就變成了正方形．
