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2013年普通高等學校統(tǒng)一考試試題（江蘇卷）

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分。請把答案填寫在答題卡相印位置上。

1、函數(shù) 的最小正周期為 ▲

2、設 （ 為虛數(shù)單位），則復數(shù) 的模為 ▲

3、雙曲線 的兩條漸近線的方程為 ▲

4、集合 共有 ▲ 個子集

5、右圖是一個算法的流程圖，則輸出的 的值是 ▲ （流程圖暫缺）

6、抽樣統(tǒng)計甲、乙兩位設計運動員的5此訓練成績（單位：環(huán)），結果如下：

則成績較為穩(wěn)定（方程較�。┑哪俏贿\動員成績的方差為 ▲

7、現(xiàn)在某類病毒記作 ，其中正整數(shù) ， （ ， ）可以任意選取，

則 都取到奇數(shù)的概率為 ▲

8、如圖，在三棱柱 中， 分別是

的中點，設三棱錐 的體積為 ，三棱柱 的體

積為 ，則 ▲

9、拋物線 在 處的切線與兩坐標軸圍成三角形區(qū)域為 （包含

三角形內部和邊界）。若點 是區(qū)域 內的任意一點，則 的取值范圍是 ▲

10、設 分別是 的邊 上的點， ， ，

若 （ 為實數(shù)），則 的值為 ▲

11、已知 是定義在 上的奇函數(shù)。當 時， ，則不等式 的解

集用區(qū)間表示為 ▲

12、在平面直角坐標系 中，橢圓 的標準方程為 ，右焦點為 ，

右準線為 ，短軸的一個端點為 ，設原點到直線 的距離為 ， 到 的距離為 ，

若 ，則橢圓 的離心率為 ▲

13、在平面直角坐標系 中，設定點 ， 是函數(shù) （ ）圖象上一動點，

若點 之間的最短距離為 ，則滿足條件的實數(shù) 的所有值為 ▲

14、在正項等比數(shù)列 中， ， ，則滿足 的

正整數(shù) 的值為 ▲

二、解答題：本大題共6小題，共計90分。請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15、（本小題滿分14分）

已知 ， 。

（1）若 ，求證： ；

（2）設 ，若 ，求 的值。

16、（本小題滿分14分）

如圖，在三棱錐 中，平面 平面 ，

， ，過 作 ，垂足為 ，

點 分別是棱 的中點。

求證：（1）平面 平面 ；

（2） 。

17、

x

y

A

l

O

（本小題滿分14分）

如圖，在平面直角坐標系 中，點 ，直線 。

設圓 的半徑為 ，圓心在 上。

（1）若圓心 也在直線 上，過點 作圓 的切線，

求切線的方程；

（2）若圓 上存在點 ，使 ，求圓心 的橫坐

標 的取值范圍。

18、（本小題滿分16分）

C

B

A

如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點 處下山至 處有兩種路徑。一種是從 沿直線步行到 ，另一種是先從 沿索道乘纜車到 ，然后從 沿直線步行到 �，F(xiàn)有甲、乙兩位游客從 處下山，甲沿 勻速步行，速度為 。在甲出發(fā) 后，乙從 乘纜車到 ，在 處停留 后，再從勻速步行到 。假設纜車勻速直線運動的速度為 ，山路 長為 ，經測量， ， 。

（1）求索道 的長；

（2）問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？

（3）為使兩位游客在 處互相等待的時間不超過 分鐘，

乙步行的速度應控制在什么范圍內？

19、（本小題滿分16分）

設 是首項為 ，公差為 的等差數(shù)列 ， 是其前 項和。記 ， ，

其中 為實數(shù)。

（1）若 ，且 成等比數(shù)列，證明： （ ）；

（2）若 是等差數(shù)列，證明： 。

20、（本小題滿分16分）

設函數(shù) ， ，其中 為實數(shù)。

（1）若 在 上是單調減函數(shù)，且 在 上有最小值，求 的取值范圍；

（2）若 在 上是單調增函數(shù)，試求 的零點個數(shù)，并證明你的結論。