上海理工大學(xué)插班生《高等數(shù)學(xué)》考試大綱

一.函數(shù)、極限、連續(xù)

1. 準(zhǔn)確掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形;

2. 會(huì)建立簡(jiǎn)單問(wèn)題的函數(shù)關(guān)系，并確定其定義域;

3. 理解極限的定義及其性質(zhì);

4. 理解兩個(gè)極限存在準(zhǔn)則(夾逼準(zhǔn)則和單調(diào)有界準(zhǔn)則) ，并能利用它們證明簡(jiǎn)單的極限問(wèn)題;

5. 會(huì)利用等價(jià)無(wú)窮小替代、絡(luò)必塔法則等方法求極限;

6. 理解函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的三種等價(jià)定義方式;

7. 會(huì)求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間，判斷函數(shù)間斷點(diǎn)的類型;

8. 理解并掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的主要性質(zhì).

二.一元函數(shù)微分學(xué)

1. 清楚導(dǎo)數(shù)和微分的概念及函數(shù)可導(dǎo)、可微、連續(xù)之間的關(guān)系；

2. 熟練掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，掌握隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)、特殊函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)、冪指函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法；

3. 理解Rolle定理、Lagrange定理、Cauchy定理、Taylor 定理(公式)的內(nèi)容和意義，能利用這些定理證明一些特殊點(diǎn)的存在性，或證明恒等式及不等式；

4. 能利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性和極值、曲線的凹凸性和拐點(diǎn)、方程根的存在性、函數(shù)的最值等問(wèn)題.

三．一元函數(shù)積分學(xué)

1. 理解原函數(shù)與不定積分的概念；

2. 會(huì)用第一換元(湊微分)法求不定積分，能靈活運(yùn)用第二換元法求不定積分；

3. 熟練掌握分部積分方法，能利用遞推或循環(huán)運(yùn)算等方法求不定積分；

4. 會(huì)求簡(jiǎn)單有理函數(shù)和簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的不定積分；

5. 理解定積分的定義；清楚定積分的性質(zhì)(線性性質(zhì)、保號(hào)性質(zhì)、積分區(qū)間的可加性、積分中值定理等)；

6. 理解變上限積分的定義、性質(zhì)及求導(dǎo)方法，清楚連續(xù)函數(shù)原函數(shù)的存在性；

7. 熟練運(yùn)用Newton-Leibniz公式計(jì)算定積分；

8. 會(huì)利用定積分的換元法、分部積分法計(jì)算積分，計(jì)算簡(jiǎn)單的反常(廣義)積分，討論簡(jiǎn)單反常積分的斂散性;

9. 會(huì)求平面圖形的面積、平面曲線的弧長(zhǎng)、繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積、變力作功、液體的壓力；

10. 能利用定積分的性質(zhì)、積分中值定理、原函數(shù)存在定理證明有關(guān)問(wèn)題.

四．常微分方程

1. 會(huì)求解變量可分離的方程、齊次方程、一階線性方程、Bernoulli 方程和全微分方程；

2. 清楚高階線性微方程解的結(jié)構(gòu)；

3. 掌握高階常系數(shù)線性微分方程的解法；

4. 能用微分方程求解一些較為簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題.

五.空間解析幾何與向量代數(shù)

1. 掌握向量的基本運(yùn)算;

2. 掌握平面方程和直線方程建立的方法；

3. 會(huì)求點(diǎn)到平面之間的距離或點(diǎn)到直線的距離;

4. 會(huì)用平面束建立平面方程.

六.多元函數(shù)微分學(xué)

1. 會(huì)求簡(jiǎn)單多元函數(shù)的極限；

2. 理解偏導(dǎo)數(shù)與全微分的概念，清楚偏導(dǎo)數(shù)存在與可微、連續(xù)之間的關(guān)系;

3. 掌握多元復(fù)合(抽象)函數(shù)的求導(dǎo)法則，會(huì)求隱函數(shù)(包括由方程組所確定的函數(shù))的二階偏導(dǎo)數(shù);

4. 能利用偏導(dǎo)數(shù)求解曲面的切平面與法線、空間曲線(包括方程組型)的切線與法平面、方向?qū)��?shù)、多元函數(shù)極值等問(wèn)題.

七.多元函數(shù)積分學(xué)

1. 掌握二重積分的計(jì)算方法(直角坐標(biāo)、極坐標(biāo))和三重積分的計(jì)算方法(直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)) ;

2. 能利用二重積分計(jì)算某些立體的體積、曲面的面積；

3. 掌握兩類曲線積分的計(jì)算方法，了解Green 公式成立的條件；

4. 會(huì)用Green 公式計(jì)算一些曲線積分，會(huì)判斷平面曲線積分與積分路徑無(wú)關(guān)的條件，并用這一結(jié)論計(jì)算(或簡(jiǎn)化)某些特殊的對(duì)坐標(biāo)的曲線積分。



說(shuō)明：1.試卷總分100分，前四部分大約占70分，后三部分大約占30分；

2.考試時(shí)間120分鐘;

3.教材:《高等數(shù)學(xué)》（上下冊(cè)），同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系編，第六版